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A forma imediata que achei de resolver essa questão foi pela fórmula de transformação de soma de funções trigonométricas em produto:
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Trigonometria/Transforma%C3%A7%C3%B5es_de_soma_de_fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_em_produtos
Em nossa questão, temos:
x = 1 + cos 300
Basta acharmos o arco que possui o valor do cosseno igual a 1. Sabermos que esse arco pode ser 0º ou 360º.
Utilizaremos o arco x = 0, portanto,
x = cos (0º) + cos (30º)
Substituindo os valores na fórmula acima teremos:
x = cos 0º + cos 30º = 2 * cos { ( 0 + 30 ) / 2 } * cos { ( 0 - 30 ) / 2 }
x = 2 * cos (15º) * cos (-15º)
Mas sabemos que cos - 15º = cos 15 º, (Basta desehar o cliclo trigonométrico e constatar que no primeiro e quarto quadrantes, a função cosseno possui o mesmo sinal..)
Substituindo na expressão acima,
x = 2* cos 15º * cos 15º = 2* cos2 15º
Gabarito, letra A.
Hoje o dia foi puxado!!
Boa noite!
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Partindo da identidade relacional básica onde cos(a+a) = cos a x cos a - sen a x sen a, temos que:
cos 2a = cos²a - sen²a (1)
Mas sabemos que cos²a + sen²a = 1, logo, sen²a = 1 - cos²a, substituindo em (1), teremos:
cos 2a = cos²a + cos²a - 1 = 2cos²a - 1
Chegamos que 1 + cos 2a = 2cos²a
Como no enunciado temos que x = 1 + cos 30° concluimos que a = 15°, logo, x = 2cos²15º
ALTERNATIVA A
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Podemos fazer da seguinte maneira:
Como cos(a + b) = cos a*cos b - sen a*sen b,
então cos 30 = cos (15 + 15) = cos 15*cos 15 - sen 15*sen15 = cos215 - sen215
Sabendo também que sen2 a + cos2 a = 1, então sen2 a = 1 - cos2 a
substituindo a por 15 -> sen215 = 1 - cos215.
Agora, pegamos nossa expressão trigonométrica e substituímos os valores:
x = 1 + cos 30
x = 1 + cos215 - sen215
x = 1 + cos215 - sen215
x = 1 + cos215 - (1 - cos215)
x = 1 + cos215 - 1 + cos215
x = 2*cos215
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Imaginemos que você, assim como eu, entenda muito pouco de trigonometria,
Dessa maneira, na hora da prova, você dificilmente se lembrará das fórmulas.
Vamos ainda imaginar que você se lembra que cos 30oé √3/2,aproximadamente 0,86.
Então, proponho resolver esta questão utilizando o método de calcular cada opção de resposta e comparar com a expressão dada. Não é infalível, mas pode ser utilizado em diversas questões:
Primeiro, vamos calcular o valor da expressão dada (x = 1 + cos 300):
Assumimos que cos 300 seja 0,86, então 1 + 0,86 = 1,86. Assim, o valor da expressão é 1,86.
Então, vamos testar a alternativas:
a) 2 cos2 150
Nesse mundo nosso de leigo, sabemos que cos 30o é 0,86. Assim, cos 15o deve estar entre 1 (cos 0o), o máximo, e 0,86 (cos 30o). Como 15o fica entre 0 e 30, vamos considerar o cosseno um valor intermediário entre 0,86 e 1. Vamos assumir que cos 15o seja 0,93.
Ficaria assim: 2 * cos 150 * cos150 = 2 * 0,93 * 0,93 = 1,73.
Não se apurou um valor igual ao da expressão dada, então vamos testar as próximas opções.
b) 4 cos2 150
Ficaria assim: 4 * cos 150 * cos150 = 4 * 0,93 *0,93 = 3,46.
Também, o valor apurado não coincidiu, mas se mostrou muito distante do valor apurado para a expressão dada. Assim, não pode ser a opção correta.
c) 2 sen2 300
Nós leigos sabemos que sen 300 é igual a 1/2.
Então 2 * sen 300 * sen 300 é igual a 2 * 1/2 * 1/2 = 1/2 ou 0,5.
O valor apurado também ficou muito distante do valor calculado para a expressão dada, por isso não pode ser a resposta da questão.
d) 2 cos2 300 .
Ficaria assim: 2 *cos 300 * cos 300 = 2 * 0,86 * 0,86 = 1,45.
O valor apurado não ficou tão distante, mas a opção “a” ainda se mostra mais próxima do valor calculado para a expressão dada.
e) 4 sen2 150
Mas qual é o sen 150?. Nesse nosso mundo de leigo, sabemos que sen 30o é 0,5. Assim, sen 15o deve estar entre 0 (sen 0o), o mínimo, e 0,5 (sen 30o). Como 15o fica entre 0 e 30, vamos considerar o seno um valor intermediário entre 0 e 0,5. Vamos assumir que cos 15o seja 0,25.
Ficaria assim: 4 * sen 150 * sen 150 = 4 * 0,25 * 0,25 = 0,25.
Esse valor também não pode ser a resposta da questão, pois está absurdamente distante do valor calculado para a expressão dada.
Conclusão:
A resposta correta só pode ser a opção “a”.
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É incrivel como uma materia que a gente estudou na 7 serie pode ser tão complicada pra uma prova de concurso público
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cos(2a) = cos2(a) - sen2(a) = 2cos2(a) – 1
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Primeiramente vamos lembrar de 2 identidades trigonométricas
cos(a + b) = cosa + cosb - sena +
senb
cos2a +sen2a = 1
Assim, temos que x = 1 + cos30, e sabemos que: cos30 = cos(15 + 15) = cos15 + cos15
- sen15 + sen15 = cos215 - sen215
Substituindo: x = 1 + cos215 - sen215
Usando agora cos2a + sen2a = 1:
cos215 + sen215 = 1→ -sen215 = cos215
- 1
Substituindo: x = 1 + cos215 +
cos215 - 1→ x 2cos215
Letra A
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Eu utilizei duas formulas para calcular uma da arco duplo - > cos2x = cons²x-sen²x e uma identidade trigonométrica Sen²x+Cos²x = 1 é decoreba mesmo!
x = 1 + cos 300
Cosº 30 (arco duplo); Cos (2 x 15) = Cos² 15 - Sen² 15 ( jogamos essa expressão na primeira equação substituindo Cos 30º)
x = 1 + Cos²15 - Sen² 15
Ai temos que ter visualização da expressão observem:
x = Cos²15 +(1-Sen² 15) ( apenas troquei de lugar o Cos²15 e o 1 para facilitar a visualização)
A expressão entre parênteses substituam pela formula Sen²x+Cos²x = 1 ; isolem o Cos²x e teremos o resultado!
x = Cos² 15 + Cos² 15 = 2Cos²15
questão simples porem sem formula quase impossivel!
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Das relações temos que:
cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)
Como 30° = 15° + 15°, podemos escrever:
Cos(30°) = Cos(15° + 15°) = Cos(15°)*Cos(15°) - Sen(15°)*Sen(15°) = Cos²(15°) - Sen²(15°)Ainda, das relações trigonométricas, temos que:
Cos²(a) + Sen²(a) = 1, logo
Sen²(a) = 1 - Cos²(a)
Ou seja:
Sen²(15°) = 1 - Cos²(15°)
Substituindo:
Cos(30°) = Cos²(15°) - [1 - Cos²(15°)]
Cos(30°) = Cos²(15°) - 1 + Cos²(15°)
Cos(30°) = 2*Cos²(15°) - 1
Somando 1 de ambos os lados:
1 + Cos(30°) = 1 + 2*Cos²(15°) - 1
1 + Cos(30°) = 2*Cos²(15°)
alternativa a)
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O jeito que foi formatado essa questão parece que o ângulo está elevado a zero, como todo mundo elevado a zero é igual a 1, já poderíamos começar torto a questão (rsrs), mas enfim, não é hora de viajar, infelizmente!!
A questão é bem simples, trabalha com a base da trigonometria, isto é, com a famosa fórmula Sen²x + Cos²x = 1.
Além dessa fórmula-mestre, também deveríamos saber somar os ângulos ou os arcos.
Soma de cossenos: Cosx . Cosx - Senx . Senx (quando for soma, altera-se o sinal)
Eu quando fui estudar pela primeira vez a Trigonometria o professor me ensinou um macete para não trocar as bolas RSRS
Assim:
Soma de cossenos: COSSA COSSA SOCA SOCA e inverte o sinal. Percebeu? C de Cosseno, C de Cosseno e S de Seno, S de Seno rsrs
Tem a soma dos senos também: Minha terra tem palmeira onde canta o sabiá. Ou seja, mistura tudo (terra, palmeira, sabiá), assim misturo o Seno com o Cosseno, assim: Senx.Cosx + Senx.Cosx (quando for a soma).
A soma dos cossenos é diferente, invocada, gosta de ficar invertida, por isso trocamos de sinais.
Pronto, sabendo isso já resolveríamos a questão rapidamente com as substituições, assim como os nossos colegas fizeram.
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Lembrar das relações:
1) sen²x + cos²x = 1 (com x podendo ser qualquer ângulo, inclusive o de 15º)
2) cos(x+x) = cosx.cosx-senx.senx = cos²x-sen²x
e já substitui a 1ª pelo 1 na equação, ficando
sen²15º + cos²15º + cos30º
Aí se você desenvolver o cos30º como sendo cos(15º+15º) fica igual a cos²15º - sen²15º.
Agora substitui pelo cos30º:
sen²15º + cos²15º + cos²15º - sen²15º = 2.cos²15º
Boa sorte a vocês, fiquem com Deus!!
Bom dia.
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Já passou da hora do site ter Matemática e Raciocínio Lógico com questões comentadas em vídeo!
Bora fazer a diferença, QC!