Questão 796882

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Chesf
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Profissional de Nível Superior - Administração
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação)

Uma pesquisa gerou um conjunto de valores tais que

• a média de todos os valores é 50;
• a soma dos quadrados dos valores é 150.000;
• o tamanho da população é 50.

Se de cada um dos valores for subtraída a média, e, em seguida, o resultado de cada subtração for dividido por 10, obtém-se um novo conjunto de valores.

A variância desses valores transformados é

• A. 4,5
• B. 5
• C. 30
• D. 45
• E. 50

Gabarito: B

Comentários

• RESPOSTA B.
  
  Primeiro passo é calcular a variância antes da transformação:
  
  Var(x) = (SQ - N*Média^2 )/50
  Var(x) = (150.000 - 50.2500)/50
  Var(x) = (25.000)/50 = 500
  
  Agora vamos calcular com a transformação pedida no exercício.
  
  Var(x) -> Var{(x-u)/10} = 1/100Var(x)
  
  Ou seja, pelas propriedades da variância temos que o 1/10 sai ao quadrado e a subtração (10) não afeta, logo a nova variância é dada por
  (1/100).(500) = 5
• Detalhando o que o colega fez:
  
  usando a fórmula da variância:
  
  var(x) = 1/n * [ SUM( x2 ) - (SUM x )2 / n ]
  Atentar para o fato de que, se o enunciado deu o valor da média (u) e o número de elementos (n), podemos achar SUM X (que vai ser necessário para substituir na fórmula), pois:
  
  u (média) = SUM x / n => definição de média
  50 = SUM x / 50 =>
  SUM x = 2.500
  
  dados do enunciado:
  SUM(x2) = 150.000
  u (média) = 50
  n (número de elementos) = 50
  
  Temos agora todos os valores para a fórmula, basta substituir:
  var (x) = 1/50 * [ 150.000 - (2.500)2 / 50]
  
  (para as contas dentro dos colchetes, lembrar que a operação de potência precede a divisão, que precede a subtração, ou seja, a subtração é a última operação a ser feita)
  
  var (x) = 500
  Esta é a variância antes das alterações de subtração e divisão.
  
  De acordo com as propriedade do desvio padrão e da variância (tem que memorizar, não tem jeito), temos que:
  
  1 - Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento uma constante qualquer, o Desvio Padrão e a Variância não se alteram.
  2 - Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento por uma constante qualquer:
  - o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante;
  - a variância fica multiplicada (ou dividida) PELO QUADRADO dessa constante.
  
  Assim, ter subtraído 50 de cada elemento não muda a variância.
  Mas, ter dividido cada elemento por 10, vai alterar a variância pelo quadrado dessa constante: ou seja, a variância será dividida por 102 = 100
  
  Var (x) = 500 / 100 = 5
  
  Espero ter ajudado.

• Boa tarde pessoal. Fiquei um pouco confuso com essa questao.

  Ate onde eu sei, a formula de variância é: (Xi - Media)^2/n.

  De onde vocês tiraram essa formula: variância = (sq - mm.n) / n?

  Obrigado

  
  

• Eu aprendi diferente.. existem várias formas..

  Var = média dos quadrados dos itens - quadrado da média

  Var = 150.000/50 - 50^2

  Var = 500

  Propriedade da variância diz que se subtrair todos os elementos de um conjunto por uma constante K, a variância não muda, mas se multiplicar ou dividir fica: VarB = VarA/ K^2 => VarB = 500/10^2 => VarB = 5

• Tentando responder a pergunta do colega M@RCELO FERNANDES, o motivo pelo qual a média é multiplicada por N é o fato que, na fórmula Var(X) = SUM{[Xi - M(X)]^2}/N,a média é subtraída N vezes. Logo, se vamos retirar o SUM da equação (necessário, dado que a questão fornece o SUM(Xi^2) ), precisamos distribuir o equivalente ao somatório para dentro dos parênteses, portanto a média de X, que é subtraída de Xi a cada uma das N vezes, precisa ser multiplicada por N para que haja o correto somatório das médias.

  Um modo mais simples de caulcular a variância em questões como essa, quando o somatório dos quadrados dos elementos já é fornecido (ou mesmo quando é dada a série de dados) é usar essa fórmula alternativa:

  Var(X) = SUM(Xi^2)/N - M(X)^2

  Isso desde que se esteja trabalhando com a população toda. Se for só a amostra, tem que multiplicar o resultado por N e dividir por N-1, para que o denominador correto seja usado. Daí teríamos:

  S(X) = [SUM(Xi^2)/N - M(X)^2] * N/(N-1)

  Essa notação para a variância da amostra parece mais complexo, mas na prática economiza um bocado de tempo de prova, uma vez que basta calcular a média dos quadrados e subtrair do quadrado da média, multiplicando o resultado por N e dividindo por N-1... 

  Essa é na verdade uma forma fatorada da fórmula original, que exige menos "continhas" para o cálculo da variância, eu só uso ela em provas por conta da economia de tempo.

  Espero ter ajudado.

• Marcelo Fernandes, temos a segunte fórmula:

  V(x)= E(x^2)-E(x)^2

  = (150000/50) - (2500/50)^2

  =3000-2500

  =500

  Mas temos outra propriedade: Se cada elemento do conjunto for multiplicada por uma constante k, então a variância fica multiplicada por k^2. Ou seja, 

  500*(1/10)^2 = 5 

  Letra b.

  Espero ter ajudado! 

• simplificando:

  Gabarito: Correto

  Comentário: Temos que a Variância é definida por: δ²=x²/n – M²

  δ²=150000/50 – (50)2

  δ²= 500.

  Como a variância transformada ficará: 500 / (10)2 = 5.

  Com isso, o Desvio Padrão será a raiz quadrada de 5 = 2,23 (aproximadamente)