Questão 831205

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: TJ-RO
• Ano: 2012
• Provas: CESPE / CEBRASPE - 2012 - TJ-RO - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Momentos e Função geratriz de momentos de uma variável aleatória

X é uma variável aleatória cuja função geradora de momentos é dada por ψ(t)=exp [ μt + ^(σt)²⁄₂ ], em que µ e s são, respectivamente, a média e o desvio padrão de X. Considerando que {X₁, X₂, ..., X₁₀} é uma sequência de cópias independentes de X, assinale a opção correta.

• A. A função geradora de momentos da soma de quadrados ∑¹⁰_t=1  X²_t é dada pela expressão ψ_z( t ) = (¹⁄_1-2t)⁵
  
• B. A distribuição de X é assimétrica.
  
• C. Considerando as estatísticas de ordem X(₁) < X(₂) < ... < X(₁₀) , é correto afirmar que P(X(₃) < µ) > 15/130.
  
• D. A covariância entre duas variáveis distintas X_i  e   X_k , em que  i ≠ k, é dada por  cov (X_i, X_k) = ^d²⁄_dt² ψ( t ) |_t=0 - [^d⁄_dt ψ( t ) ] |_t=0]²
• E. Considerando que X(₁₀) = max {X₁, X₂, ..., X₁₀}, é correto afirmar que a função de probabilidade acumulada de X(₁₀) é dada por ƒx_(n) (z) = [ exp(z - μ + ^σ²⁄₂ ) ]¹⁰
  

Gabarito: C

Comentários

• Estamos diante da fgm de uma normal. Sendo assim, basta que em P(X(₃) < µ) subtraiamos ambos os lados da desigualdade µ e dividamos ambos os lados pelo desvio-padrão, chegaremos em: P(Z < 0) = 0,5 > 15/130.
  https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function