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Questões de Momentos e Função geratriz de momentos de uma variável aleatória


ID
58759
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A estimativa de máxima verossimilhança para a função geratriz de momentos de Y é igual a 0,2 + 0,8exp(t), em que t é um número real e exp(.) denota a função exponencial.

Alternativas
Comentários

ID
221494
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n. Duas bolas são retiradas ao acaso e com reposição. Seja X a variável aleatória que representa o valor da diferença absoluta entre os dois números observados. A probabilidade de X ser igual a um é

Alternativas
Comentários
  • Pensei da seguinte forma: X=|Y-Z|
    Para X=1, teremos:
    Se Y=1, Z tem que ser 2, então P(Y=1 e Z=2)=1/n^2
    Se Y=2, Z tem que ser 1 ou 3, então P(Y=2 e Z=1)+ P(Y=2 e Z=3)=2/n^2
    ...
    Se Y=n, Z tem que ser n-1, então P(Y=n e Z=n-1)=1/n^2

    Como para Y=1 e Y=n, P(X)=1/n^2 e para as outras (n-2) possibilidades, P(X=1)=2/n^2, então:
    P(X=1)= 2*(1/n^2)+(n-2)*( 2/n^2)=2(n-1)/n^2

  • Façamos n = 3
    Assim temos:
        1 2 3
    1  0 1 2
    2  1 0 1
    3  2 1 0
    os valores das diferenças estão em módulo
    prob da diferença ser 1 em módulo = 4/9 para n = 3
    substitua nas alternativas esse valor de n = 3 e terá a letra b como resposta




     

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117207?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009


ID
318550
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STM
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A respeito de estimadores, julgue os itens a seguir.

Qualquer estimador obtido pelo método dos momentos é uma função de estatística suficiente.

Alternativas

ID
730888
Banca
FCC
Órgão
TRF - 2ª REGIÃO
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A função geratriz de momentos da variável aleatória X tem a forma: M (t) = ( 0,4 e t + 0,6 ) Nessas condições, a média da variável aleatória Y = 5X - 3 é igual a

Alternativas
Comentários

ID
831205
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-RO
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

X é uma variável aleatória cuja função geradora de momentos é dada por ψ(t)=exp [ μt + (σt)²2 ], em que µ e s são, respectivamente, a média e o desvio padrão de X. Considerando que {X1, X2, ..., X10} é uma sequência de cópias independentes de X, assinale a opção correta.

Alternativas
Comentários
  • Estamos diante da fgm de uma normal. Sendo assim, basta que em P(X(3) < µ) subtraiamos ambos os lados da desigualdade µ e dividamos ambos os lados pelo desvio-padrão, chegaremos em: P(Z < 0) = 0,5 > 15/130.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function

ID
831412
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-RO
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Na sequência {X1, X2, ..., Xn}, de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, cada variável possui a função geradora de momentos na forma ψ(t) = pet + 1 ! p, para 0 < p <1. Com base nessas informações, assinale a opção correta.

Alternativas
Comentários
  • soma de bernoulli = binomial

    no enunciado tem fgm de uma bernoulli, na letra e, tem fgm de uma binomial

  • https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function


ID
1141945
Banca
FUMARC
Órgão
PC-MG
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com média 10. Nessas condições, sua função geradora de momentos é dada por:

Alternativas
Comentários
  • A

    fgm da exponencial lâmbida / (lâmbida - t)

    lâmbida = 1 / média


ID
1198033
Banca
FGV
Órgão
DPE-RJ
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Suponha que, para estimar o coeficiente de variação de uma população qualquer, resolve-se utilizar o tradicional Método dos Momentos, para estimar o numerador e o denominador. Então, o estimador empregado será

Alternativas
Comentários
  • http://www.icmc.usp.br/~ehlers/inf/cap3.pdf

    O método dos momentos subestima pois tem em seu denominador o termo "n". Se meu denominador é um número maior eu tenho uma estimativa menor. Além disso, é tendencioso por ter em seu denominador o termo "n". Não o seria se tivesse o termo "n-1". A alternativa correta é a letra B. 

  • O coeficiente de variação, também conhecido como desvio padrão relativo, representa uma normalização do desvio padrão pela média, que tem como objetivo transformar determinados valores para uma escala comum, permitindo assim uma análise comparativa. 

    CV = Desvio Padrão / Média

    Logo, se o desvio padrão for subestimado e, portanto, tendencioso, a estimativa do CV também será.


ID
1234594
Banca
FCC
Órgão
TRT - 19ª Região (AL)
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A função geratriz de momentos da variável aleatória X é dada por Mx( t ) = pe t / 1 - qe t, onde p é o parâmetro do modelo, p + q = 1 e 0 < qe t< 1. Seja a variável aleatória Y = X - 1. A esperança de Y é igual a

Alternativas
Comentários
  • Há duas resoluções:

     

    A primeira consiste em reconhecer que trata-se de uma f.g.m de uma distribuição geométrica... X tem distribuição geométrica

    sendo assim: E(Y) = E(X) - 1 = 1/p - 1 = (1-p) / p = q/p...A outra solução consiste em derivar Mx(t) em relação a t, e no lugar de t colocar 0, ou seja, M 'x(0). Encontrar-se-á o mesmo resultado.
    fgm de várias variáveis:http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function
     


ID
1321624
Banca
CESGRANRIO
Órgão
IBGE
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A variável aleatória X é tal que E(X) = 2 e Var(X) = 4. Seja mx (t) a função geradora de momentos da variável aleatória X, e seja Y uma variável aleatória com função geradora de momentos dada por my (t) = e2[mx(t)-1] .

A média e o desvio padrão da variável aleatória Y valem, respectivamente,

Alternativas

ID
1358848
Banca
CONSULPLAN
Órgão
TRE-MG
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Para ajustar um modelo ARIMA, é necessário considerar os estágios de identificação e estimação.
( ) Um processo autorregressivo de ordem p tem a função de autocovariância decrescente, na forma de exponenciais ou senoides amortecidas, finitas em extensão.
( ) Um processo de médias móveis de ordem q tem função de autocovariância finita, apresentando um corte após o “lag” q.
( ) Um processo autorregressivo e de médias móveis de ordem (p, q) tem função de autocovariância infinita em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas após o “lag” q-p.
( ) Após a identificação provisória de um modelo de séries temporais, pode-se usar os métodos de mínimos quadrados ou de máxima verossimilhança, entre outros, para estimação dos parâmetros. Os estimadores obtidos pelo método dos momentos não têm propriedades boas quando comparadas com os dois já mencionados. Entretanto, podem ser utilizados para gerar os valores iniciais nos processos iterativos.
A sequência está correta em

Alternativas
Comentários
  • Para ajustar um modelo ARIMA, é necessário considerar os estágios de identificação e estimação.

    "Para ajustar um modelo com componentes autorregressivos, diferença e média móvel, realize uma ARIMA. Para ajustar um modelo ARIMA, você deve entender a autocorrelação e a estrutura de autocorrelação parcial das suas séries."

    http://support.minitab.com/pt-br/minitab/17/topic-library/modeling-statistics/time-series/basics/time-series-analyses-in-minitab/

    Um processo autorregressivo de ordem p tem a função de autocovariância decrescente, na forma de exponenciais ou senoides amortecidas, finitas em extensão. 

    A função de autocorrelação que tem essa natureza

    http://www.portalaction.com.br/series-temporais/13-processos-estacionarios

     


ID
1371832
Banca
FCC
Órgão
TRT - 13ª Região (PB)
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Suponha que uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (a , b), em que nem a nem b são conhecidos. Utilizando o método dos momentos, com base em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 1 e 4 para a e b, respectivamente. O valor do momento de ordem 2, centrado na origem, correspondente aos elementos da amostra é

Alternativas
Comentários
  • O método dos momentos é bem tranquilo, temo que lembrar que Mr = E (X^r). Portanto, o momento de ordem 2 é dado por E(X^2). Como temos o parâmetros estimados da amostra, temos como calcular a E(x), que é o primeiro momento, e a Var(x), que é a subtração do segundo momento pelo quadrado do primeiro momento (a média). Assim, E(X^2) = Var(X) - [E(X)]^2. A resposta é 9/12 - (5/2)^2 = 7.


ID
1371892
Banca
FCC
Órgão
TRT - 13ª Região (PB)
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A função geratriz de momentos da variável aleatória X tem a forma: M(t) = (0,2 + 0,8et ) 10 .

Nessas condições, a média da variável aleatória Y = 0,5X + 2 é igual a

Alternativas
Comentários
  • A F.G.M retratada é relativa à distribuição binomial com n = 10 e p = 0,8. Mas não precisa saber disso, basta derivar a F.G.M em relatação a t, depois t = 0 e vc acha a esperança. Depois disso, a esperança de Y = 0,5 x esperança de X + 2. Logo, o resultado esperado é 6.


ID
1513909
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Para estimar a média e a variância utilizando estima- dores de momentos, dada uma amostra de n elementos de uma distribuição normal, N( µ ; σ2 ), a partir de uma amostra de n elementos extraídos da população, x = (x1 ; x2 ;...xn ), assinale a alternativa que contém a afirmação verdadeira.

Alternativas
Comentários
  • d,

    var = E(x^2) - E(x)^2 = m2 - m1^2


ID
1563823
Banca
FCC
Órgão
TRE-RR
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Sabe-se que a função geratriz de momentos da variável aleatória X é dada por [0,1et + 0,9]12 . Nestas condições, a variância da variável aleatória Y = −2X + 3 é igual a

Alternativas
Comentários
  • trata-se de uma fgm de uma binomial com n = 12.. outra alternativa seria fazer as derivada

    p = 0,1

    var(x) = np (1-p) = 12*0,1*0,9 = 1,08

    variância (y) = 4*var(x) = 4,32

     

    https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function


ID
1608073
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANTT
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que a função geradora de momentos de uma variável aleatória discreta X seja dada pela relação MX(q) = (0,8 + 0,2eq)2, em que q ∈ . Com base nessas informações, julgue o item a seguir.


A probabilidade de ocorrência do evento [X = 0] é igual a 0,64.


Alternativas
Comentários
  • Trata-se da fgm de uma binomial com p = 0,2 e n = 2

    P(x=0) = (2  0)*0,2^0*0,8^2 = 0,64

    https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function


ID
1670857
Banca
FCC
Órgão
TRT - 3ª Região (MG)
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (m , n) em que m e n são desconhecidos. Utiliza-se o método dos momentos para encontrar os estimadores para m e n (mˆ e nˆ , respectivamente). De uma amostra aleatória da respectiva população de tamanho 8, obteve-se uma média amostral igual a 6 e o momento de segunda ordem igual a 37,6875.
Com base nos resultados desta amostra, encontra-se que o resultado da divisão de mˆ por nˆ apresenta um valor igual a

Alternativas
Comentários
  • Uniforme:

    Média:

    (m + n) / 2 = 6

    Logo m+n = 12

    m = 12 - n

    Variância:

    (m - n)^2 / 12

    Substituindo o valor de m nessa equação temos que a variância é:

    (12 - 2n)^2 / 12 = 1,6875

    Usando o fato de que:

    Var = E(x^2) - E(x)^2

          = 37,6875 - 6^2 = 1,6875

    Assim obtem-se o valor de n e porconseguinte o de m, e depois é só correr para o abraço rs

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/293084


ID
1835845
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Telebras
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um vendedor de certo tipo de equipamento de telecomunicações pode visitar, em um dia, um ou dois clientes, com probabilidades de 1/3 e 2/3, respectivamente. De cada contato pode resultar a venda de um equipamento por R$ 50.000, com probabilidade de 1/10, ou nenhuma venda, com probabilidade de 9/10. Considerando que V seja a variável aleatória que indica o valor total de vendas diárias desse vendedor, em milhares de reais, julgue o item que se segue.

O numeral 2 é um elemento do domínio da função de probabilidade de
V, e indica o fechamento de duas vendas.

Alternativas
Comentários
  • indica o valor total de vendas diárias desse vendedor, em milhares de reais

  • Como a venda está em milhares de reais, se o vendedor fizer duas vendas, terá fechado 100.000.

  • Os elementos domínio são ->

    0 (zero)

    50.000 e o

    100.000.

  • A variável V indica o valor total de vendas diárias do vendedor, que pode assumir os seguintes valores: V= {0,50,100}.

    Logo, a variável V não indica a quantidade de clientes.

    Se o enunciado tivesse dito que teria uma outra váriavel , por exemplo, a variável C para armazenar a quantidade de clientes, ai o item estaria correto.

    Nesse caso hipotético a variável C assumiria [0,1,2}, que corresponderia a quantidade de clientes.

    Item errado


ID
2027170
Banca
Aeronáutica
Órgão
CIAAR
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Informe se é falso (F) ou verdadeiro (V) o que se afirma abaixo sobre o seguinte problema: Seja X
uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ=2 e variância σ2 =9. Obtenha as expressões para o cálculo da probabilidade. A seguir, indique a opção com a sequência correta.

( ) P(5<X<8)=P(2<Z<9)
( ) P(5<X<8)=P(1/3<Z<2/3)
( ) P(X<3)=P(Z<1/3)
( ) P(5<X<8)=P(1<Z<2)

Alternativas

ID
2096281
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PA
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

a distribuição de X2 é Bernoulli com média igual a 0,81.

Alternativas
Comentários
  • Errado

    x^2 assume os valores:

    1^2 = 1 com probabilidade 0,9

    0^2 = 0 com probabilidade 0,1

    Assim a média de x^2 é 1*0,9 + 0*0,1 = 0,9. Usando o fato de E(X) = somatório de x*p(x)

  • Como X só assume os valores 0 ou 1, podemos dizer que X também só assumirá os valores 0 = 0 e 1 = 1. Trata-se de uma variável Bernoulli. A média é dada pela multiplicação de cada valor que a variável pode assumir (1 ou 0) pelas respectivas probabilidades (0,9 e 0,1):

    E(X) = 1.0,9 + 0.0,1 = 0,9

    Item ERRADO.

  • Fico de cara como vocês são sem criatividade e imitam minha foto.

    PS: Belo comentário Francisco.

  • Na distribuição de Bernoulli a média é sempre igual ao sucesso, ou seja, E(x)= p

  • algumas médias

    bernoulli--- média=p

    binomial---média=n.p

    poisson---média=n.p

    uni. cont--média=a+b/2

  • ERRADO

    Média/Esperança = p (sucesso)

    0,9

  • x | P | x²

    1 | 0,9 | 1² = 1

    0 | 0,1 | 0²=0

    QUESTÃO TENTA CONFUNDI-LO A COLOCAR P², QUE NO CASO, FICARIA 0,9²=0,81.

  • Pessoal, se uma distribuição é Bernoulli, temos que:

    E(X) = p, sendo p = probabilidade de sucesso, ou seja, X = 1 e q = probabilidade de fracasso, ou X = 0

    e

    VAR(X) = p.q

    Porém, sabemos que VAR(X) = E(X^2) - E(X)^2, assim, isolando E(X^2), temos:

    E(X^2) = VAR(X) + E(X)^2, como sabemos que VAR(X) = p.q e que E(X)^2 = p^2, temos:

    E(X^2) = p.q + p^2, botando p em evidência, temos:

    E(X^2) = p.(q + p) = p.1 = p.

    Logo a média é 0,9 e não 0,81.

  • Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

    a distribuição de X2 é Bernoulli com média igual a 0,81.

    P[X = 1 = 0,9 (sucesso)

    P[X = 0 = 0,1 (fracasso)

    P[Y = 0] = 0,9 (sucesso)

    P[Y = 1] = 0,1 (fracasso)

    PX² = 0 ) = PX = 0) = 1 - 0,9 = 0,1

    PX² = 1 = PX = 1 = 0,9

    E(X) = P = 0,9

    0 ao quadrado e 0 com P igual a X, continua sendo 0 = 0,1

    1 ao quadrado e 1, com P igual a X, continua sendo 1= 0,9

    se fosse X=2 ao quadrado ai seria 0,81 se 2 representasse o sucesso

    XeY recebem o msm sucesso 0,9, mas nao sao complementares, sao independentes

    (telhado down)


ID
2293105
Banca
FCC
Órgão
TRT - 20ª REGIÃO (SE)
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere as seguintes afirmações:

I. Se X uma variável aleatória com função geradora de momentos Mx, então a função geradora de momentos da variável aleatória Y = =2X + 3 é dada por My (t) = e2t Mx (3t).
II. Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes, com funções geradoras de momentos Mx e My, respectivamente. Nessas condições, a função geradora de momentos da variável aleatória U = X + Y é dada por MU (t) = Mx (t) My (t).
III. Se a variável aleatória X tem função geradora de momentos Mx (t) = (0,2et + 0,8)5, então a variável aleatória Y = 4X+1 tem variância igual a 12,8.
IV. Duas variáveis aleatórias que possuem a mesma função geradora de momentos, em todos os pontos onde estão definidas, não têm necessariamente a mesma distribuição de probabilidade.

Está correto o que se afirma APENAS em 

Alternativas
Comentários
  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/439149

    O pulo do gato está no item III. Consiste no fato de reconhecer que trata-se da fgm de uma Binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,2

    https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function

    Var(x) = np*(1-p) = 5*0,2*0,8 = 0,8

    Var(y) = (4^2)*0,8 = 16*0,8 = 12,8


ID
2347339
Banca
FCC
Órgão
TRT - 5ª Região (BA)
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo (m, n) em que nem m e nem n são conhecidos. Com base em uma amostra aleatória de tamanho 10 obteve-se que os valores do primeiro e do segundo momentos da amostra foram, respectivamente, 1,00 e 1,12. Aplicando o método dos momentos, tem-se que as estimativas de m e n são, respectivamente,

Alternativas

ID
2349538
Banca
FCC
Órgão
TRT - 12ª Região (SC)
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Atenção: Para responder a questão use, dentre as informações dadas a seguir, a que julgar apropriada.

Se Z tem distribuição normal padrão, então: 

P(Z < 0,6) = 0,73, P(Z < 0,68) = 0,75, P(Z < 1) = 0,84, P(Z < 1,64) = 0,95. 

O diâmetro de certo anel industrial é uma variável aleatória com distribuição normal com média 15 cm e primeiro quartil igual a 11,6 cm. Se o diâmetro do anel diferir da média em mais de 3 cm, ele é vendido por R$ 100,00, caso contrário é vendido por R$ 200,00. O preço médio de venda do anel é, em reais, igual a

Alternativas

ID
2355646
Banca
CONSULPLAN
Órgão
TRF - 2ª REGIÃO
Ano
2017
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando o método de estimação conhecido como Método dos Momentos, assinale a afirmativa INCORRETA.

Alternativas

ID
2408278
Banca
Marinha
Órgão
Quadro Técnico
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Define-se função de repartição da variável aleatória X, no ponto x, como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x. Com relação às propriedades da função de repartição, assinale a opção INCORRETA.

Alternativas
Comentários
  • Propriedades da função acumulada ou repartição F(x):

    1) F(x) = ∑p(xi)

    2) F(-∞) = 0

    3) F(+∞) = 1

    4) P(a < x ≤ b) = F(b) - F(a)

    5) P(a ≤ x ≤ b) = F(b) - F(a) + P(x=a)

    6) P(a < x < b) = F(b) - F(a) - P(x=b)

    Incorreta: letra A


ID
2408305
Banca
Marinha
Órgão
Quadro Técnico
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. A função geratriz de momentos de cada uma delas é dada por M(t)= exp (t2 -3) para t no dominio de -∞ a +∞. A partir dessas informações, encontre a função geratriz de momentos de uma variável Z=2x-y+3 e assinale a opção correta.

Alternativas

ID
2433352
Banca
Marinha
Órgão
Quadro Técnico
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Define-se Função de Repartição de uma variável aleatória X, no ponto x, como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual x. São propriedades da Função Repartição, EXCETO :

Alternativas
Comentários
  • Propriedades da função acumulada ou repartição F(x):

    1) F(x) = ∑p(xi)

    2) F(-∞) = 0

    3) F(+∞) = 1

    4) P(a < x ≤ b) = F(b) - F(a)

    5) P(a ≤ x ≤ b) = F(b) - F(a) + P(x=a)

    6) P(a < x < b) = F(b) - F(a) - P(x=b)

    Incorreta: letra A


ID
2926204
Banca
UFU-MG
Órgão
UFU-MG
Ano
2019
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, tendo média igual a 5. Se a probabilidade de X assumir valores menores que 2 for igual a 0,3 e, sabendo-se que P(0 < Z < 0,53) ≅ 0,2 sendo Z uma variável aleatória normal padrão, a variância de X é, aproximadamente, 

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