Questão 850450

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - BNDES - Técnico de Arquivo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12.


Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica?

• A. 1
• B. 3
• C. 6
• D. 9
• E. 12

Gabarito: B

Comentários

• 
  Q 283481
  
  Progressão geométrica  (  PG):  ( 3, 3/2, 3/4, 3/8,…) . Essa sequência é uma  PG pois obedece a uma regra básica: um termo posterior é igual ao seu termo anterior vezes uma constante.
     3 x ½  = 3/2
  3/2 x ½  =3/4
  3/4 x ½ = 3/8 
  No caso a constante numérica ½  é chamada de razão da PG,  que representa-se por    q   
     q = 1/2              
  PG:  ( a₁, a₂, a₃, ... a_n)          =        ( 3, 3/2, 3/4, 3/8,…)
  No caso  a₁  = 3 ,  a₂ = 3/2 ,  a₃ = 3/4 ,   a₄ = 3/8     etc. Os parênteses são para indicar a ordem dos termos na sequência. No caso o 3 está na posição 1 ou primeiro termo. As reticências são para indicar que é uma sequência infinita. No caso, PG infinita.
  Para a soma de uma PG infinita temos a seguinte expressão : Sn = a1/ 1-q
  Sendo q  < 1  a₁ o primeiro termo e Sn a soma dos termos de uma PG  
  Quanto dará a soma: 3 + 3/2 + 3/4 + 3/8 +...?   (I)
  a₁= 3,  q = ½   então S_n = a1/ 1-q = 3/( 1- ½) =3/ ½ = 6
  Experimentando somar todos os termos ao quadrado dessa mesma PG:
  3² + (3/2)² + (3/4)² + (3/8)² ...     fica
  9 + 9/4 + 9/16 + 9/64 + ...  (II)      a’₁ =9  e  q’= 1/4      comparando com (I)  ficou (a1)²  e q²
  Ou  Sn’ = (a₁)²   / 1- q² = 9/ (1- ¼) = 9/ (3/4) = 36/3 = 12
• 
  Com  os dados  do problemas temos:
   soma da PG : Sn = a1/ 1-q  ou 6 =a₁/ 1- q     isolando a₁:   a₁= 6. (1-q)  (III)
  e a soma dos quadrados dos termos dessa mesma PG: Sn’ = (a₁)²   / 1- q²
  12 = (a₁)²/ 1- q²    (IV)
  Substituindo (III) em (IV):
  12 =( 6. (1-q))²/ 1 - q²             Lembrando: a² – b² = (a+b). (a – b)
   
   12 = (36. (1-q). (1-q))/(1-q).( 1+q)              (cancelados (1-q)
  12= 36.(1-q)    
              (1+q)                                (   multiplicando em cruz ou X)
   
   12(1+q) = 36.(1-q)                       (foi multiplicado em cruz)
   
  12 + 12q = 36 – 36q                    (trocando de lado da igualdade, juntado os termos semelhantes,  e reduzindo-os)
  48q = 24
  q = 24/ 48 = 1/2
  Substituindo em    a₁= 6. (1-q)  (III)
  Fica  a₁= 6. (1-1/2)  = 6.1/2 = 3
  Resposta b
   
   
• Fórmula geral de uma PG infinita:
  
  Sn=...a1...
  ......1-q
  
  A 1ª parte da questão:
  A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, 
  cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6
  
  6=...a1...→a1=6.(q-1)
  .....1-q
  
  A 2ª parte da questão:
  A soma dos quadrados dos termos dessa progressão é 
  igual a 12
  
  12=...a1²...→a1²=12.(1-q).(1+q)
  ......1-q²
  
  Substituindo a1:
  [6.(1-q)]²=12.(1-q).(1+q)→
  36.(1-q).(1-q)=12.(1-q).(1+q)→
  3.(1-q)=(1+q)→
  3-3q=1+q→
  -3q-q=1-3→
  -4q=-2 (.-1)→
  4q=2→
  q=2/4 . : q =½
  
  Substituindo q:
  a1=6.(1-q)→
  a1=6.(1-½)→
  a1=6-3 . : a1= 3

• Questão resolvida no vídeo do link abaixo.

  https://www.youtube.com/watch?v=13dY0hvXYjs

  Bons estudos.

• Conseguimos resolver esta questão usando a lógica e a eliminação de alternativas.

  Vamos lá!

  A primeira jogada, é eliminar as alternativas 6, 9 e 12; Pois a soma dos termos da PG é igual a 6; logo qualquer valor somado a 6, ultrapassará esta somatória, já que a razão está em módulo.

  A segunda jogada é eliminar a alternativa 1, visto que independentemente do expoente (de 0 à <1) o resultado sempre será 1, e quando for fazer a soma dos infinitos, termos ou dos quadrados destes, sempre ultrapassará o 6 e o 12.

  Obs1: Todo valor de módulo sempre será positivo ou zero.

  Obs2: Todo valor elevado a 0, terá sempre como resultado 1.

  Logo sobra a alternativa B) 3.