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Macete para resolver esse tipo de questão:
Teste as opções
Multiplica-se a quantidade de X1 pelo preço de X1
Multiplicar-se quantidade de X2 pelo preço de X2
Quando o resultado for o mesmo, é a resposta.
e) x1 = 160 e x2 = 40
160*4= 640
40*16= 640
Obs: Só será o mesmo se os expoentes forem 0,5.
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Dada uma função de produção tipo Cobb-Douglas q = x1^0,5 x2^0,5 onde x1 e x2 são os insumos utilizados para a produção de "q" unidades de produto.E os preços dos insumos (x1 e x2) sendo iguais a P1 = 4,00 e P2 = 16,00, a questão pede para determinar as quantidades dos insumos ao Menor custo possível na produção de 80 unidades de produto.
Uma forma para determinar as quantidades dos insumos de modo que os custos sejam minimizados é utilizar o lagrangiano.
Temos a Função de Produção: x1^0,5 x2^0,5 = 80
Restrita a função de custo: 4x1 + 16x2
Escrevendo o lagrangiano:
L = 4x1 + 16x2 - y (x1^0,5 x2^0,5 - 80)
Deriva em relação a x1, x2 e y:
(1) 4 - Y ( 0,5x1^-0,5 x2^0,5) = 0
(2) 16 - Y ( x1^0,5 0,5x2^-0,5) = 0
(3) x1^0,5 x2^0,5 - 80 = 0
Evidencia Y em (1) e (2) e igualando as equações, temos:
4 / 16 = x2 / x1
(4) x1 = 4 x2
Substituindo (4) em (3) tem-se:
(4x2)^0,5 x2^0,5 = 80
Elevando os termos a 2:
4x2x2 = 6400
x2^2 = 6400 / 4
x2^2 = 1600
x2 = RAIZ QUADRADA DE 1600
x2 = 40
x1 = 4 (40) = 160
RESPOSTA LETRA (E)
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Prezado Gilberto, não sei se sou muito idiota, mas seu cálculo é terrivelmente incompreensível!!!
Oq é expoente, oq é multiplicação?? Da próxima vez, é conveniente que use as representações do Excel. Facilita para quem não tem muita intimidade com a matéria.
Se alguém puder tornar isso mais compreensível eu agradeceria!!
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Sergio sua dica foi muito legal, mas queria entender esta questão. A explicação do Gilberto está incompreensível.
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Modo mais simples de resolver dado que a função é Cobb-Douglas:
Para facilitar a visualização troquei X2 por Y nos cálculos.
1) Calculamos as quantidades ótimas usando os expoentes , o custo total e o preço dos insumos.
a/a+b * ct/p - - - - X= (0,5/1) * (ct/4) - -- - X = ct/8 - - - - 8X=CT
Y = (0,5/1)*(ct/16) - - - Y=ct/32 - - - - - 32Y=CT
Igualando as expressões temos: 8X=32Y - - - - - - - X=4Y
2) Substituímos o valor de X na função de produção:
Q = X^0,5 * Y^0,5 - - - - Q= (4Y)^0,5 * Y^0,5 - - - - - Q=2Y
como a quantidade que se deseja produzir é 80, esse será o valor de Q
80 = 2Y - - - - Y=40
Aqui já poderíamos marcar a letra "e" pois é a única onde X2 = 40
3) Substituímos o valor de Y na igualdade X=4Y
X=4*40
X= 160
Portanto, X1 = 160 e X2(Y) = 40
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achei de boa a explicação do Gilberto.
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Mais uma opção de solução:
1) 80 = x1^0,5 . x2^0,5. Logo, x1 = 6400/x2 (Equação 1)
2) Custo = 4x1 + 16x2 (Equação 2)
3) Substituindo Equação 1 em Equação 2: Custo = 16x2 + 25600/x2
4) Se o custo é mínimo, derivada do custo/derivada x2 = 0
Logo: 16 - 25600/(x2²) = 0
x2 = 40
5) Pela Equação 1, x1=160 quando x2=40
Fonte: http://dbconcurseiro.blogspot.com.br/2016_07_01_archive.html
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Maximizando a utilidade:
Px1/Px2 = Umgx1/ Umgx2
CT = 4x1^0,5 . 16x2^0,5
Umg1= 0,5.4x1^-0,5.16x2^0,5 = 2/√x1. 16√x2 = 32√x2/√x1
Umg2= 4x1^0,5.0,5.16x2^-0,5 = 32√x1/√x2
4/16 = 32√x2/√x1: 32√x1/√x2
1/4 = 32√x2.√x2 / 32√x1.√x1
1/4 = x2/x1
x1 = 4x2
80 = √4x2 . √x2
6.400 = 4x2. x2
x2^2 = 1600
x2 = 40
x1= 4. x2 = 4.40 = 160
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GAB: LETRA E
Complementando!
Fonte: Celso Natale - Estratégia
Observe que podemos simplesmente calcular os custos gerados em cada alternativa.
Multiplica-se a quantidade de X1 pelo preço de X1
Multiplica-se a quantidade de X2 pelo preço de X2
a) x1=400 e x2=16
b) x1=256 e x2=25
c) x1=100 e x2=64
d) x1=16 e x2=400
e) x1=160 e x2=40
A alternativa “e” tem o menor custo... mas ainda não acabou!
Precisamos ainda saber se a quantidade produzida é aquela pedida na questão (80 unidades). Dessa vez, vamos colocar as quantidades x 1 =160 e x 2 =40 na função de produção para ver no que dá:
- q = X1^0,5 . X2^0,5 ...colocando as quantidades...
- q=160^0,5 .40^0,5 ...elevar a “0,5” é o mesmo que extrair a raiz quadrada, mas 160 e 40 têm raízes “quebradas”, então vamos reorganizar os termos, levando em conta que x^a . y^a = (x.y)^a ...
- q=(160.40)^0,5 ... agora sim, basta resolver a multiplicação...
- q=6400^0,5 ... e resolver a potência 0,5 = ½
- q=80
A quantidade bateu. Já podemos marcar a alternativa “e”.
=-=-=
Agora, a outra forma de resolver.
A função Cobb-Douglas nos informa, por seus expoentes, qual será o montante gasto com cada insumo no nível ótimo de produção.
No caso da função q = X1^0,5 . X2^0,5 , como os expoentes são iguais, sabemos que o mesmo montante será gasto com cada um deles. Também sabemos que o insumo x2 custa 4 vezes mais que o insumo x1, e a única forma de gastarmos o mesmo montante com cada um deles, é se utilizarmos uma quantidade 4 vezes menor do insumo x2. Portanto, podemos concluir que:
Isso nos permitirá resolver a função de produção para 80 unidades, pois teremos apenas uma variável:
- q = X1^0,5 . X2^0,5
- q = 4X2^0,5 . X2^0,5 [substituindo x 1 por 4x 2 ]
- 80 = 4X2^0,5 . X2^0,5 [substituindo q por 80, conforme solicitado no enunciado]
- 80 = (4X2^2)^0,5 [manipulando as raízes]
- 80 = 2X2 [resolvendo a raiz]
- 80/2 = X2 [passando o “2” para o outro lado]
- X2 =40
Bem, já temos nosso gabarito, pois apenas a alternativa “e” prevê X2 =40.
Mas você pode certificar-se de que está correto inserindo na função de produção:
- q = X1^0,5 . X2^0,5
- 80 =X1^0,5 .40^ 0,5
- 80 = 40X1^0,5 [elevarei os dois lados ao quadrado para me livrar da raiz]
- 6400 = 40X1
- X 1 = 6400 / 40
- X 1 = 160