Questão 925684

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2013
• Provas: CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Engenharia
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação)

Considere que as notas das matérias de Matemática, Física e Português de alunos de uma mesma sala de aula sigam distribuições normais. As variâncias das notas são, respectivamente, 3,0, 6,0 e 7,5. Por outro lado, a variância das notas de Matemática e Física somadas é 11,0 e a variância das notas de Matemática e Português somadas é 10,5.

O que esses resultados indicam?

• A. Notas de Matemática e notas de Física são independentes.
• B. Notas de Matemática e notas de Português são independentes.
• C. As notas de Física são mais altas que as notas de Português.
• D. As notas de Física são o dobro das de Matemática.
• E. As notas de Matemática e Física somadas são mais altas que as notas de Matemática e Português somadas.

Gabarito: B

Comentários

• Vamos chamar a variável A das notas somadas de Mat e Fis, e a variável B das notas de Mat e Port:
  A = M + F
  Var(A) = Var(M) + Var(F) + 2 cov(M,F)
  B = M + P
  Var(B) = Var(M) + Var(P) + 2 cov(M,P)
  
  Vemos, portanto que cov(M,F) ≠ 0 e cov(M,P) = 0. Logo, Mat e Fis não podem ser independentes, já que a cov ≠ 0. Já Mat e Port podem ser independentes, já que cov = 0. 
  
  Um erro que vi na questão é que os resultados não indicam que Mat e Port SÃO independentes, eles indicam que PODEM ser. É possível variável que não sejam independentes terem covariância = 0.

• nao entendi a questao

  alguem poderia por gentileza me explicar?
  se tiver como me mandar um recado agradeço imensamente

  
  

• Daniel, a banca pecou na elaboração da questão.

  Independência implica em covariância igual a zero, porém, a recíproca não é verdadeira
  

• Essa questão deveria ser anulada!
  Os cálculos nos levam a concluir que Cov(M,P) = 0, o que é condição necessária para a independência entre M e P, porém não é condição suficiente.
  O teorema diz: "Se duas variáveis aleatórias X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0", porém a recíproca não é necessariamente verdade. Pode haver casos em que X e Y tenham covariância nula, porém não serem independentes.
  
  
  A banca cometeu um erro grave ao não anular uma questão claramente equivocada.
  
  

• Notas de Matemática e notas de Português são independentes.