Responder essa questão na "raça" e calcular os determinantes de cada matriz seria trabalhoso e infrutífero, para esse caso vale lembrar das propriedades dos determinantes. Propriedade: det A x det A inversa = 1, daí podemos concluir que det A = 7. Propriedade: det A = det A transposta, logo, det A transposta = 7. Propriedade: Ao trocar 2 linhas ou colunas de lugar, invertemos o sinal do determinante; dessa propriedade podemos verificar que o det B = -7, pois a matriz b possui as linhas 1 e 2 trocadas de lugar com as linhas 1 e 2 da matriz A. Portanto como a questão pede a soma de det A + det B, temos que o resultado é zero, uma vez que det A = 7 e det B = -7, subtraindo, o resultado é 0.
Lembrar que a matriz transposta de A é a inversão das linhas pelas colunas e das colunas pelas linhas.
O determinante da transposta de A é 3a - 2x + 1 + x2a
E o determinante de B o contrário -3a + 2x - 1 - x2a
O que somado é igual a 0!
Pensando assim, nao importa a informação do determinante da inversa de A.
Para resolver esta questão basta memorizar as seguintes propriedades dos determinantes:
Resumidamente, as principais propriedades do determinante são:
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AˆT
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor “k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k;
- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o determinante será multiplicado por kˆn , onde n é a ordem da matriz;
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da nova matriz será igual a –det(A);
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det(AxB) = det(A) x det(B)
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( A) diferente de 0
- se A é uma matriz inversível, det(Aˆ-1 ) = 1/det(A)
Fonte: Prof. Arthur Lima