Vamos avaliar os itens:
I. W = (3X/2Y) pode ser reescrita da seguinte forma:
X tem distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade e Y tem distribuição qui-quadrado com 3 graus de liberdade. A razão entre X dividido pelo respectivo número de graus de liberdade (2) e Y dividido pelo respectivo número de graus de liberdade (3) tem distribuição F-Snedecor com 2 graus de liberdade no numerador e 3 graus de liberdade no denominador. Portanto, o item I está correto.
II. Está correto, pois há um teorema que diz que sendo X uma variável com distribuição normal padrão e Y uma variável com distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, então a variável W = (X/√Y ) tem distribuição t de Student com k graus de liberdade. Como no item é mencionado que Y tem 1 grau de liberdade, W terá distribuição t de Student também com 1 grau de liberdade.
III. Está correto. A distribuição gama tem parâmetros α e β e a distribuição exponencial nada mais é que a distribuição gama quando α = 1, portanto de fato se trata de um caso particular da distribuição gama.
IV. Se X tem distribuição gama com parâmetros a e b, sua variância é dada pela razão a/b² e não pelo produto de a por b. Portanto, o item está incorreto.
Logo, apenas os itens I, II e III estão corretos e a alternativa D é o gabarito da questão.
Resposta: D
Analisando cada proposição:
I. Sejam Q1 e Q2 variáveis aleatórias independentes, comdistribuição qui-quadrado com ν1 e ν2 graus de liberdade, respectivamente.Então, a variável aleatória F=(Q1/ν1)/(Q2/ν2) tem distribuição F de Snedecor com ν1 graus de liberdade no numerador e ν2 graus de liberdade no denominador (http://www.de.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade2/Aula16.pdf, slide 7). Na afirmação da questão, podemos expressa "W" da seguinte forma:
W = 3x/2y = (x/2)/(y/3). Logo, o essa distribuição possui 2 graus de liberdade no numerador e 3 no denominador. Correto
II. Está correto, pois há um teorema que diz que sendo X uma variável com distribuição normal padrão e Y uma
variável com distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, então a variável W = (X/√Y ) tem distribuição
t de Student com k graus de liberdade. Como no item é mencionado que Y tem 1 grau de liberdade, W terá
distribuição t de Student também com 1 grau de liberdade.
III. Está correto. A distribuição gama tem parâmetros α e β e a distribuição exponencial nada mais é que a
distribuição gama quando α = 1, portanto de fato se trata de um caso particular da distribuição gama.
IV. Se X tem distribuição gama com parâmetros a e b, sua variância é dada pela razão a/b² e não pelo produto
de a por b. Portanto, o item está incorreto.
Portanto, o gabarito é a letra D
Fonte das outras afirmativas: prof. Arthur Lima