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Equações de progressão aritmética: an=a1+ (n-1).r - onde a1 (primeiro termo), n (número de termos) e r (razão da progressão)
Soma geral da PA : Sn=(a1+an).n / 2
Temos que sempre o número posterior é igual ao número anterior mais a razão - por exemplo, a5 = a4 + r (razão)
Assim, a3=a2 + r e a6=a5+r
Substituindo nas equações fornecidas: a3+a6=29 e a2+a5=23
a3 + a6 = 29 então, a2+r + a5 + r = 29 - sendo assim, temos que a2 + a5 + 2r=29
Resolvendo por comparação, temos 02 equações:
a3+a6=29 - que é igual a = a2 + a5 + 2r=29, sendo assim, temos:
a2 + a5 + 2r=29
a2+a5=23 (vezes -1)
a2 + a5 + 2r=29
-a2-a5=-23
2r = 6 então r=3 - descobrimos desta forma que a razão da progressão é 3.
voltando à equação básica: an=a1+(n-1).r
a3=a1+(3-1).3 e a6=a1+(6-1).3
a3=a1+6 a6=a1+15
Sendo a3+a6=29, temos então que a1+6+a1+15=29 - resolvendo, temos que 2a1=29-21 ....... a1=8/2......a1=4 (achamos o primeiro termo da progressão!)
a200=a1+(200-1).r ...... a200=4+(199).3 .....a200=601
Sn=(a1+an).n/2 ..... S200=(4+a200).200/2 ..... S200=(4+601).200/2 .....S200=60.500
Resposta: Soma dos 200 primeiros termos é igual a 60.500!
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PA
a3 + a6 = 29
a2 + a5 = 23
Soma dos 200 primeiros termos dessa PA = ?
a3 + a6 = 29
a1 + 2r + a1 + 5r = 29
2a1 + 7r = 29
a2 + a5 = 23
a1 + 1r + a1 + 4r = 23
2a1 + 5r = 23
Partindo do sistema, teremos:
2a1 + 7r = 29 ( -1)
2a1 + 5r = 23
2r = 6
r = 3
Substituindo, teremos:
2a1 + 7r = 29
2a1 + 7.3 = 29
2a1 = 29 - 21
2a1 = 8
a1 = 4
PA (4,7,10,13,16, ....,n200)
Aplicando a fórmula, teremos:
an = a1 + (n -1) . r
a200 = 4 + (200 - 1) . 3
a200 = 4 + (199) . 3
a200 = 601
PA (4,7,10,13,16,....,601)
Aplicando a fórmula da soma, teremos:
Sn = (a1 +an) . n/2
Sn = (4 + 601) . 200/2
Sn = 605 . 100
Sn = 60.500
Resp:. Letra A
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De acordo
com o enunciado, tem-se:
a3 +
a6 = 29
a2 +
a5 = 23
Para resolver o sistema, deve-se
recordar da fórmula do termo geral da PA, a saber:
an
= a1 + (n – 1) . r
,onde
an
é o n-ésimo termo;
a1
é o primeiro termo
n
é a posição do termo desejado
r
é a razão da PA
Então,
a3
= a1 + (3 – 1) . r = a1
+ 2r
a6
= a1 + (6 – 1) . r = a1
+ 5r
a2
= a1 + (2 – 1) . r = a1
+ r
a5
= a1 + (5 – 1) . r = a1
+ 4r
Substituindo as expressões no
sistema, tem-se:
a1
+ 2r + a1 + 5r = 29 → 2a1 + 7r = 29
a1
+ r + a1 + 4r = 23 → 2a1 + 5r = 23
Solucionando o sistema, tem-se:
2r
= 6 → r = 3
2a1
+ 15 = 23 → 2a1 = 8 → a1 = 4
Calcula-se assim, a200 :
a200
= 4 + (200 – 1) . 3 = 4 + 199 . 3 = 601
Finalmente,
sabendo o valor de a200 , utiliza-se a fórmula da soma dos n termos
de uma PA, para calcular a soma dos 200 primeiros termos:
Sn
= (a1 + an ).n / 2
S200
= (4 + 601).200 / 2 = 121000/2 = 60500
Resposta A)
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Passos para resolver.
1) Desenvolva o sistema ( ache r= 3)
2) Substitua o valor de r em uma das expressões acima ( ache a1=4)
3) Pelo termo geral calcule a200 = 601
4) Calcule a soma pela fórmula = S200 = (a200+ a1) . n / 2
Resposta : 60500
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Fiz a resolução dessa questão em vídeo, veja:
https://www.youtube.com/watch?v=KbVh2SQQ-8o
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Não da pra resolver uma questão dessa em 3 minutos!
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Não da pra resolver uma questão dessa em 3 minutos!
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a3 + a6 = 29
a2 + a5 = 23
(a1 + 2r) + (a1 + 5r) = 29
(a1 + r)+ (a1 + 4r) = 23
2a1 + 7r = 29
2a1 + 5r = 23
___________
2r = 6 .:. r = 3
2a1 + 5.(3) = 23 .:. a1 = 4
a200 = a1 + 199.r .:. a200 = 4 + 199.3 = 601
S200 = (4 + 601)/2.200 = 60.500
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Bom dia!
Excelente explicação em vídeo do nosso colega Fernando Tiago: https://www.youtube.com/watch?v=KbVh2SQQ-8o
Parabéns. Obrigada pela contribuição.