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1)Para facilitar irei chamar o ponto do centro da circunferência de A(0,-2) e o ponto da reta tangente de B (1,2).
2) A distância entre esses dois pontos é o raio da circunferência, e sabe-se que se uma reta tangencia um ponto B de uma circunferência, com centro A e raio r, então essa reta é perpendicular ao segmento de reta AB(considerem um traço acima de AB).
3) Agora vamos encontrar o coeficiente angular da reta AB:
m"= (y2 - y1)/(x2 - x1) = [2 - (-2)] / 1-0 = m" = 4
4) Se uma reta qualquer, com coefiente angular m", é perpendicular a outra reta, com coeficiente m', então:
m" = -1/m' Então teremos: 4 = -1/m' m' = -1/4 (m' é o coeficiente angular da reta tangente à circunferência no ponto B)
5) Agora é só encontrar a equação da reta tangente no ponto B (1,2).
Fórmula da equação da reta: y - y1 = m*(x - x1) y - 2 = (-1/4)*(x - 1 ) 4y + x = 9
Gabarito: d
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m (coef. angular)= Δy/ Δx = 2-(-2)/ 1-0 = 4
m'= -1/4
y-yo= m. (x-xo)
y-2= -1/4. (x-1)
4y-8 = -x+1
4y+x= 9
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Uma outra forma de resolver a questão é pensar no desenho da circunferência no plano cartesiano e na reta que a tangencia. Feito o desenho do raio da circunferência que vai do ponto (0;-2) a (1;2), do centro da circunferência e do ponto que a tangencia, respectivamente, nota-se que a reta tangente tem uma inclinação negativa, ou seja, o coeficiente angular da reta é negativo!
Assim, olhando-se para as alternativas, e colocando todas as retas na sua forma reduzida (y = ax + b), nota-se que a única que tem o coeficiente angular (o número que acompanha o x) negativo é a reta 4y + x = 9.
Mas como eu sei que o coeficiente angular é negativo?
Simples, como eu disse, é só colocar a equação na sua forma reduzida. Ficaria assim:
4y + x = 9
4y = -x + 9
y = (-x + 9)/4
y = -(1/4)x + 9/4
O número que acompanha o x (-1/4) é negativo. Logo, a reta tem inclinação negativa.
Gabarito D
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Há uma solução mais interessante do ponto de vista da geometria analítica. O vetor que corresponde ao raio tem coordenadas:
v = (1 - 0) i + (2 - (-2)) j = i + 4 j
A reta tangente deve ser perpendicular a esse vetor, ou seja, o produto escalar entre esse vetor e o vetor diretor da reta deve ser nulo. Além disso, a reta deve conter o ponto (1,2), assim:
vd . v = 0 --> [(x - 1) i + (y - 2)j ] . (i + 4j) = 0 --> x - 1 + 4y - 8 = 0 --> 4y + x = 9