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Lembremos do círculo trigonométrico, cujo eixo das abscissas representa os cossenos dos ângulos, eixo das ordenadas representa os senos e um eixo paralelos ao eixo dos senos e tangente ao círculo representa o eixo das tangentes.Como o ângulo x pertence ao intervalo de pí/2 a pí (ou, em graus, de 90 a 180), então o ângulo x está no 2o quadrante do círculo trigonométrico.Lembrando que nesse quadrante os cossenos são negativos (como informa a questão, ao expor que o cos(x) = -7/25) e os senos são positivos.Agora, imaginemos um triângulo retângulo que tem um ângulo x".Esse ângulo x" é um espelho do ângulo x, com a diferença de estar situado no 1o quadrante do círculo trigonométrico. x" tem o mesmo valor de seno de x.Seu cosseno, todavia, é o módulo do cosseno de x, ou seja, é o mesmo valor que cos(x), só que positivo.POR EXEMPLO (OS VALORES SEGUINTES NÃO ESTÃO RELACIONADOS COM A QUESTÃO EM ANÁLISE, FORAM UTILIZADOS APENAS PARA ELUCIDAÇÃO DA SITUAÇÃO DOS ÂNGULOS x e x"):os ângulos 120 graus (2o quadrante) e 60 graus (1o quadrante), os quais possuem mesmo seno (raiz de 3 sobre 2), porém o cos(120) = - 1/2 enquanto o cos(60) = + 1/2.Ok.Se cos(x) = -7/25, cos(x") = +7/25.Imaginemos agora um triângulo retângulo em que um dos seus ângulos agudos seja x". Cos(x") = cateto adjacente / hipotenusa = 7 / 25.Já sabemos o valor da hipotenusa (25) e de um dos catetos (7) desse triângulo.Para descobrir o valor do outro cateto (L), basta aplicar o Teorema de Pitágoras: 252= 72+ L2 // L = raiz quadrada de 576 ===> L = 24. Com o valor de L em mãos, podemos calcular o seno do ângulo x", que seria cateto oposto (L) sobre a hipotenusa (25), isto é, sen(x") = 24/25.Como sen(x) = sen(x"), então o sen(x) = 24/25.Voltemos nossa análise ao ângulo x.Sen(x) = 24/25 = 0,96.É um valor de seno próximo de 1.Lembrando que o seno de 90 graus (pí/2) é igual a 1.Como x está no 2o quadrante (entre pí/2 e pí ou entre 90 graus e 180 graus) e o seu seno é próximo de 1, o valor de x é um pouco maior que 90 graus.Mas a questão pede a tangente de x/2.Raciocinando um pouco, se x está no 2o quadrante e é um pouco maior que 90 graus, x/2 será um pouco maior que a metade de 90 graus, ou seja, um pouco maior que 45 graus.Portanto, x/2 estará no 1o quadrante.Sabemos que a tangente de 45 = 1.A tangente varia de 0 ao infinito quando o ângulo varia de 0 a 90 graus.No 1o quadrante, a tangente é sempre positiva.Logo, se tan(45) = 1 e se x/2 é um pouco maior que 45 graus, então tan(x/2) é um número positivo um pouco maior que 1.Das valores de resposta expostos pela questão, o único que obedece a essas condições é 4/3 = 1,3333...,valor positivo um pouco maior que 1.Nas letras A e C, são valores negativos de tangente.Na letra D, o valor de tangente é menor que 1.A letra E não pode ser, pois 1 é a tan(45), e sabemos que o ângulo x/2 é um pouco maior que 45 graus.GABARITO:B
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Outra forma de resolver é simplesmente usar a fórmula: tg(x/2) = sqrt[ (1-cosx)/(cosx +1) ]. A dificuldade é que teria que saber esta fórmula na prova [não sei como estava o edital]. Mas dá para usar o raciocínio do Gilberto.
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No edital constava apenas "trigonometria".
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Muito obrigado, Gilberto. Excelente linha de raciocínio.
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O enunciado da questão afirma que x é um ângulo que está localizado entre 90º (π/2) e π (180º), que representa o 2º quadrante da circunferência trigonométrica.
Neste quadrante o SENO é positivo e o COSSENO é negativo. Como a tangente é a razão do seno pelo cosseno, ela é NEGATIVA.
Devido a isso, logo, eliminaria as alternativas "b", "d" e "e". Restando apenas "a" e "c".
Utilizando a fórmula apresentada por Vandré encontraria o resultado +- 4/3.
Como a tangente do 2º quadrante deve ser NEGATIVA, optaria por -4/3 e marcaria a alternativa A.
Obs. Vi o gabarito após os recursos e a resposta é b). Talvez eu esteja raciocinando errado ou ninguém percebeu o erro.
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De acordo
com o enunciado, tem-se:
cos x =
-7/25
π/2 < x
< π ou seja, x está no segundo
quadrante. Assim, o valor do coseno é negativo e o do seno é positivo.
Como sen²x + cos²x = 1,
sen²x = 1 – cos²x
sen²x = 1 – (-7/25)² = 1 – 49/625 = 576/625
sen x =
√(576/625) = 24/25
sen x = 24/25
Como tgx = sen x / cos x,
tg x = (24/25) / (-7/25) = -24/7
Como tg x = [2tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)],
-24/7 = [2tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)] (÷ 2)
-12/7 = [tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)]
7 tg(x/2) = -12 + 12tg²(x/2)
12tg²(x/2) – 7tg(x/2) – 12 = 0
Para saber o valor de tg(x/2) basta
solucionar a equação do 2°grau. O candidato deve notar que no caso em questão
os termos a, b e c da equação são: 12, -7 e -12.
Utilizando a Fórmula de Báskara
tem-se:
tg(x/2) =
[7 ± √(7² - 4 . 12 . (-12))]/2
tg(x/2) = [7±
√(625)]/2 = [7±25]/2 → 4/3 ou -3/4
Como a tg(x/2) é positiva,
deve-se desconsiderar o valor encontrado -3/4.
Assim, tg(x/2) = 4/3
Resposta B)
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Tem jeito bem facil de resolver essas questão:
1:Sabe-se que X está entre pi/2 e pi, logo segundo quadrante
2: Ele quer a tg de X/2 não de X
se pi>X>pi/2 logo pi/2>X/2>pi/4 e logo tgX>1, olhando as alternativas temos só 4/3 que atende a regra.
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Buscamos a Tg ( x/2)
Um dado importantíssimo para questão é pi/2 < x < p , ou seja 90º < x < 180º
Pela relação acima percebemos que"x" é um ângulo do 2º quadrante
Só que queremos "x/2" , ou seja, nosso ângulo vai estar necessariamente no 1º quadrante, de cara já sabemos que a tangente não pode ser negativa, porque no primeiro quadrante a tangente é sempre positiva.
Ficaríamos entre a assertiva b e d, e agora?
Basta saber que x não pode ser menor do que 90º então x/2 não pode ser menor que 45º sabendo que a Tg de 45º é 1, estamos buscando valores maiores que 1.
Portanto letra b)
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Gilberto. O Brasil Precisa de pessoas como vc!
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Questão muito fácil. Cos x = -7/25 ... portanto x pouco maior que 90 graus. x/2 um pouco maior que 45 graus (tg x/2 >1). Única alternativa viável é a b)
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Resolução da questão: 38'30"
https://www.youtube.com/watch?v=JfyKlLVHIRA
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Sendo cos x = -7/25, entao cos (x/2 + x/2)=-7/25. Resolvendo pela soma de angulos, teremos (cos^2)x/2- (sen^2)x/2= -7/25. Como (cos^2)x/2+ (sen^2)x/2= 1, entao cos x/2=3/5. Logo, sen x/2=4/5. Assim tg x/2=4/3. O valor é positivo pois é o x que está no segundo quadrante, logo x/2 estará no1o quadrante.
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para quem assim como eu não se lembra mais desses assuntos recomendo o vídeo sugerido pela antonia caceres aproximadamente nos 38 minutos tem a resolução da questao muito bem explicada https://www.youtube.com/watch?v=JfyKlLVHIRA
bons estudos
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Uma maneira de resolver esta questao é utilizando a relação trigonométrica: tan(x/2)= raiz (1-cox/1+cox)
tan(x/2)= raiz (1-(-7/25)/ 1+(-7/25))
calculando o mmc dos termos na raiz, temos:
tan(x/2)=raiz ((32/25)/(18/25))
tan(x/2)=raiz(32/25 * 25/18)
tan(x/2)= raiz (16/9)
tan(x/2)= 4/3
resposta B
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Resolvi de uma maneira simples, partindo das seguintes premissas:
1) Imagine o ângulo no círculo trigonométrico.
2) Lembre-se que a tangente é uma reta que tangencia o círculo trigonométrico, paralela ao eixo dos senos, passando pelo ponto 1 do eixo dos cossenos
3) Ainda, que o valor da tangente é o ponto onde a prolongação do ângulo toca essa reta
O ângulo x é maior que 90º e menor que 180º. Assim, x/2 será um ângulo maior que 45º e menor que 90º.
Com essa informação, já eliminamos as alternativas A, C e E, pois se o ângulo está no 1º quadrante, o prolongamento dele tocará a reta das tangentes em sua parte positiva (acima do eixo dos cossenos).
Ficamos, então, com as alternativas B e D.
A tangente de 45º é 1, logo, a tangente do ângulo x/2 (que é maior que 45º) será maior que 1.
Entre as alternativas B e C, a única que expressa um número maior que 1 é a alternativa B, resposta da questão.
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Eles não realizam as provas como candidatos, daí querem fazer gracinha com a cara de quem estuda para tanto.