SóProvas

ID
114379
Banca
ESAF
Órgão
SUSEP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.

Alternativas
Comentários
  • Como o triângulo é isósceles de base 6 e altura 4, essa altura é perpendicular à base no ponto médio, formando um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 e, conseqüentemente, hipotenusa 5.
    A área, S, do triângulo pode ser calculada por S = p.r.
    Onde p é semi-perímetro do triângulo e r o raio do círculo inscrito. Tendo a área e o semi-perímetro consigo calcular o r, pois se S = p.r.; então r =S/p

    S = (b x h) /2 
    S = (6× 4) /2
    S = 12

    p = (5 + 5 + 6)/2
    p= 8

    r = S/p
    r=12/8
    r= 1,5

    Letra A
  • Segue 2 belissimas explicacoes:
    1 Desenhei o triângulo isóceles e coloquei o circulo dentro.
    2 Desenhei a reta da altura e obtive dois triângulos retângulos com os valores 3, 4 e 5.
    4. repare que a reta da altura de valor 4 é igual ao r + (4-r)
    5. tracei uma reta do centro do círculo até o ponto onde o circulo tangencia o lado do triângulo isóceles, essa nova reta também é o raio e forma um ângulo reto com um dos lados do triângulo isóceles.
    6. repare que agora ficamos com dois triângulos retângulos iguais e um triângulo retângulo menor.
    7. observe que o triângulo retângulo menor compartilha um dos ângulos do triângulo retângulo maior e, como o outro ângulo é reto isso quer dizer que o terceiro ângulo também terá o mesmo valor para os dois triângulos.
    8. Com isso ficamos com dois triângulos semelhantes. daí basta aplicar a seguinte semelhança: 3/r=5/4-r => 12-3r=5r => 8r=12 => r=1,5

    Acho que a explicação ficou meio confusa, mas se desenhares tu vais entender.
    http://www.forumconcurseiros.com/forum/showthread.php?p=872082


    E a segunda:

    Sabendo que os segmentos de reta que ligam o vertice do triângulo aos pontos de interseção com o círculo são congruentes e, sabendo que a altura em relação à base de um triângulo isosceles é também a mediana, podemos fazer o seguinte desenho para facilitar:

    (Grafico)

    Assim, usando pitágoras nós encontramos a medida da hipotenusa do triângulo amarelo:

    32 + 42 = H2

    9 + 16 = H2

    H = 5 

    Com isso, podemos fazer o seguinte desenho:

     temos o seguinte:

    Área do triângulo verde = 2.R/2 

    Área do triângulo vermelho = 3.R/2 

    Área do triângulo azul = 3.R/2 

    Área dos três triângulos = 3.4/2 

    Assim, podemos montar a seguinte equação:

    2.R/2 + 3.R/2 + 3.R/2 = 3.4/2 

    8.R = 12 

    R = 1,5 
     

    http://raciociniologico.50webs.com/SUSEP2010/SUSEP2010.html#Questão%2003
  • A resposta desse site esta bem diática
    http://raciociniologico.50webs.com/SUSEP2010/SUSEP2010.html#Quest%C3%83%C2%A3o%2008

  • Eu fiz um desenho pra colocar aqui mas não consegui, então vou ter de descrever a solução:
    A chave é fazer as bissetrizes e encontrar o valor de seno do angulo de 30 graus.
    Bem, o nosso triangulo é isoceles, de base 6 e altura 4, portanto, a bissetriz que vai da base ao vertice mede 4 e configura um triangulo retangulo de medidas 3 (metade da base) e altura 4. De cara, vemos que é um triangulo retangulo padrao, ou seja, angulos medindo 90, 30 e 60 graus.
    Do centro do circulo, trace uma bissetriz (a bissetriz divide o angulo do vertice ao meio e) para à direita, indo de encontro ao vertice de angulo 30 (vertice dos lados 3 e 5). Pronto, temos um outro triangulo retangulo, em que sabemos o valor do cateto adjacente, que é tres, e o angulo, que é 30.
    Aplicando seno 30, temos
    1/2 = x/3
    X = 1,5
    Espero ter ajudado.

    Nota: se o circulo estivesse inscrito em um triangulo equilatero, o problera diretamente resolvido, pois a proporção é sempre 2/3 (centro do circulo ao vertice da altura) para 1/3 (centro do circulo à base). Aí era multiplicar 1/3 pela altura e encontrar o raio. Mas, repito, isso só é possivel no triangulo equilatero.

     
  • Essa questão fica bem mais simples se já soubermos a relação apontada pelo colega lá em cima: A = S.R, onde A = área, S = semiperímetro e R = raio. Como A do triângulo é base . altura /2,  então:

    (b.h)/2 = SR

    6.4/2 = [(5+5+6)/2]R  - Pra saber os lados do triângulo basta fazer o teorema de pitágoras com um dos triângulos retângulos formados pela altura do isóceles (que também é mediana) -> x² = 4² + 3². X =5.

    R = 12/8 = 1,5


    OBS: a fórmula A = SR vale para qualquer polígono com círculo inscrito
  • Caro Eduardo,

    Sua resolução, embora apresente o valor correto, contém alguns equívocos. Em um triângulo retângulo padrão do tipo 3, 4 e 5 os ângulos não medem 30o, 60o e 90o, como você afirmou. Os valores corretos são 53,13o (aproximado), 36,87o (aproximado) e 90o. Utilizando seu raciocínio, é preciso conhecer o valor da função trigonométrica tangente da bissetriz do ângulo 53,13o , ou seja, a função trigonométrica tangente do ângulo 26,565o, que é 0,5. O que você denominou sen30o é, na realidade, a tang(26,565o). Assim:
    tang(26,565o) = x/3
    0,5 = x/3
    x = 1,5

    Muitas vezes, chega-se a um resultado correto por meio de um raciocínio equivocado. No fim, obter a resposta certa em uma questão de múltipla escolha é o que, realmente, importa !

  • TEOREMA DE HERÃO

    SE O CÍRCULO ESTÁ INSCRITO EM UM TRIANGULO QUALQUER, A ÁREA DO TRIÂNGULO É IGUAL AO PRODUTO DO SEMIPERÍMETRO (DO TRIANGULO) E DO RAIO. 

    A = S.r

    A = Área do triângulo

    S =Semiperímetro do triângulo

    r = raio do Círculo

    ____________

    Para o cálculo dos lados do triangulo(para calcular o semiperímetro), é só utilizar o teorema de Pitágoras.

     

    FONTE: http://aulasmayleone.blogspot.com.br/2014/05/teorema-de-herao.html

     

  • Sendo a área= Semiperímetro ( metade do perímetro) x raio, temos :

     

    A= bxh÷2 

    A =6x4÷2= 12

    Raio= 4 ( enunciado)

    Cálculo do semiperímetro: vamos descobrir a hipotenusa. Portanto, vamos dividir a base do triângulo ao meio. Teremos um triângulo com catetos 3 e 4. Aplicamos pitágoras para descobrir a hipotenisa: h^=3^+4^

    h^= 9+16

    h= 5

    Então teremos um triângulo de base 6 e cateto 5. O outro cateto tbm é 5 , pois a questao disse tratar- se de um triângulo isósceles ( 2 lados iguais ).

    Semiperímetro= 5+5+6 ÷2 = 8

    A= semip. X raio

    R= a÷ semip.

    R= 12÷ 8= 1,5 

  • a-

    o triângulo é isosceles e temos a base e altura. É NECESSARIO ENCONTRAR O LADO (ou aresta). Pegando a metade da base e a altura, temos 1 triangulo retangulo, cujo lado pode ser encontrado com teorema de pitagoras: c²= a² + b². A HIPOTENUSA SERÁ O LADO FALTANDO. 3² + 4² = c². 9+16 = c². c² = 25. c = 5. O lado do triangulo isosceles é 5 e sua base, 6. O raio do circulo inscrito é:

     

    r = b/2 sqrt(2a - b)/(2a+b)

     

    b= base. a= aresta.

     

    A formula 3 * sqrt 4/10+6 -> 3 * sqrt 4/16 -> 3* 1/2. -> 1.5

  • Sendo R o raio do círculo, temos a seguinte situação inicial:

           Inicialmente observe somente o triângulo. Veja que podemos formar um triângulo retângulo com metade da base (3), a altura (4) e um dos lados:

           Assim, pelo teorema de Pitágoras,

    x = 3 + 4

    x = 9 + 16

    x = 5

           Voltando a figura original, já incluindo algumas informações adicionais, temos:

           Observe a metade esquerda do triângulo isósceles. Ela está dividida em 3 triângulos retângulos, cujas áreas somam:

    Áreas = (3 x R) / 2 + (3 x R) / 2 + (2 x R) / 2

    Áreas = 4R

           Veja que esta área é metade da área do triângulo isósceles, ou seja,

    Área triângulo isósceles = 8R

    6 x 4 / 2 = 8R

    12 = 8R

    R = 1,5

    Resposta: A