-
Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo,
a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t.
O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de
(1+20%)4
– 1 = 1,204
– 1 = 1,0736 = 107,36%.
Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a
taxa equivalente semestral será (1+20%)2
– 1 = 0,44 = 44% ao semestre.
Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo
percentual foi de 44%
fonte: prof. guilherme neves
-
Trata-se de um problema em que se pedia as taxas equivalentes à taxa nominal de 80% com capitalização trimestral.
O que isso significa? Significa que o banco X quer que o seu emprestimo concedido seja devolvido a 20% a cada três meses, ou seja, em um periodo de 12 meses, o capital de R$ 100,00 teve quatro capitalizações de 20%.
Em juros simples, a taxa efetiva de uma operação é igual à taxa proporcional e é igual à taxa equivalente, ou seja, as três taxas são iguais. Em juros compostos, isso não é verdade, porque, enquanto em um a evolução é linear (sistema simples), noutro a evolução é exponencial (sistema composto).
Vejamos o problema da qustão:
Há um outro banco, Y, que tem uma taxa equivalente à taxa cobrada pelo banco X, mas, dessa vez, o banco Y quer duas capitalizações ao invés de 4 do banco X:
MARIA (X)
80% ao ano, com capitalização trimestral equivale a 20% ao trimestre e, em um ano (quatro trimestres), 1,2^4 = 2,0736, que é igual a 107,36%.
MARIO (Y)
80% ao ano, com cap. trimestral, equivale a 20% e, em seis meses (dois trimestres), equivale a 1,2^2 = 1,44, ou seja, 44%.
Letra E
-
Banco X: 80% ao ano, com capitalização trimestral - taxa aparente. Logo, 80% / (4 trimestres/ano) = 20% ao trimestre - taxa efetiva.
Capital de Maria: 100,00, por 1 ano = 4 trimestres
M = C(1+i)n
M = 100(1+0.20)4
M = 207,36, Logo, custo % efetivo foi de 207,36 - 100 = 107,36%
Banco Y: 20% ao trimestre, quanto será em um semestre?
Equivalência de taxas
(1 + i trimestral)2 = (1 + i semestral)1
(1 + 20)2 = (1 + i semestral)
i semestral = 44%
-
No Banco X temos uma taxa de 80%aa com capitalização trimestral, o que corresponde à taxa efetiva de 20% ao trimestre (pois temos 4 trimestres em um ano). Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano, ou seja, 4 trimestres, portanto o montante pago por ela foi de:
M = C x (1 + j)
M = 100 x (1 + 20%)
M = 100 x 1,20
M = 100 x 2,0736
M = 207,36 reais
Assim, os juros pagos por Maria foram de 207,36 – 100 = 107,36. Percentualmente, temos o custo de 107,36 / 100 = 107,36%. Isso já permite marcar a alternativa E.
Vejamos o caso de Mário só por fins didáticos. O Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. A taxa semestral que equivale a 20% ao trimestre é obtida pela fórmula de taxas equivalentes, lembrando que t = 1 semestre corresponde a t = 2 trimestres:
(1 + j) = (1 + j)
(1 + j) = (1 + 20%)
1 + j = 1,44
j = 44% ao semestre
Assim, em um semestre Mário teve um custo de 44%.
Resposta: E