Pede-se o intervalo do conjunto-imagem da função abaixo:
f(x) = - 3x² + 5x - 2
Veja que a nossa função acima tem os seguintes coeficientes:
a = -3 ----(é o coeficiente de x²)
b = 5 -----(é o coeficiente de x)
c = -2 ----(é o termo independente).
As funções do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, tem os seguintes intervalos para o seu conjunto-imagem:
se a > 0 ---(veja que o termo "a" é o coeficiente de x²), então o intervalo do conjunto-imagem é:
Im(f) = [yv; +ºº) ------veja que "yv" é o "y" do vértice da parábola da função.
se a < 0 , então o intervalo do conjunto-imagem é:
Im(f) = (-ºº; yv].
Como a nossa função (f(x) = -3x²+5x-2) tem o seu termo "a" menor do que zero, então vamos procurar qual é o "y" do vértice dela. O "y" do vértice de uma função do 2º grau é dado por:
yv = -[b²-4*a*c]/4*a
Assim, fazendo as devidas substituições (vide os coeficientes da função que demos acima), temos:
yv = -[5² - 4*(-3)*(-2)]/4*(-3)
yv = -[25 - 24]/-12
yv = -[1]/-12
yv = -1/-12
yv = 1/12 <---Esse é o "y" do vértice da nossa função.
Então o conjunto-imagem da nossa função (f(x) = -3x²+5x-2) e considerando que o termo "a" da nossa função é negativo, terá o seguinte intervalo:
Im(f) = (-ºº ; 1/12] <---Pronto. Essa é a resposta. Esse é o intervalo procurado.
Se você quiser, poderá também apresentar a resposta assim, o que é a mesma coisa:
S = {f(x) £ R / f(x) < = 1/12} ----[tradução: "S" é o conjunto dos f(x) pertencentes aos Reais, tal que f(x) é menor ou igual a 1/12}.
Deu p'ra entender bem? LETRA C