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Resolução
Total de Calibrações = 54
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 1 = T1
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 2 = T2
Número de Instrumentos Calibrados pelo Técnico 3 = T3
Se os números formam um PA, considerando que a razão da PA será r, teremos:
T2 = T1 + r
T3 = T2 + r = T1 + r + r = T1 + 2r
Portanto, a soma dos três termos da PA (total de calibrações) será:
T1 + T2 + T3 = Total de Calibrações = 54 ⇒
⇒ T1 + T1 + r + T1 + 2r = 54 ⇒
⇒ 3T1 + 3r = 54 ⇒
⇒ 3.(T1 + r) = 54 ⇒
⇒ T1 + r = 54/3
⇒ T1 + r = 18 (repare que T1 + r = T2)
Portanto, teremos:
T1 = 18 – r
T2 = 18
T3 = 18 + r
II - Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progressão, ela se transforma em uma progressão geométrica.
Termos da PG:
T1= 18 – r
T2 = 18
T3´= T3 + 3 = 18 + r + 3 = 21 + r
Se os termos acima formam um PG, considerando que a razão da PG será q, teremos:
T2 = 18 = T1.q ⇒ T1 = 18/q
T3´= T3 + 3 = T2.q ⇒ T3´= 18.q
Nessa situação, o total dos termos passou a ser 57 (os 54 anteriores mais os 3 somados ao T3, que originaram T3´).
T1 + T2 + T3´ = 57 ⇒
⇒18/q + 18 + 18.q = 57 ⇒
⇒18/q + 18q = 57 – 18 ⇒
⇒18/q + 18q = 39
Se multiplicarmos os dois lados da igual por q:
⇒18/q .q + 18q.q = 39.q ⇒
⇒18 + 18q2 = 39q ⇒
⇒18q2 – 39q + 18 = 0
Simplificando por 3 (dividindo tudo por 3):
⇒6q2 – 13q + 6 = 0
Portanto, temos uma equação do segundo grau em q. Vamos calcular as raízes:
6q2 – 13q + 6 = 0
...
as raízes da equação serão:
q1 =3/2
q2 =2/3
Como a questão fala que o número de instrumentos calibrados foi colocado em ordem crescente para chegar na PA, e, depois, na PG, não há sentido em falar em uma razão q menor que 1, pois os termos seriam decrescentes.
Portanto, a razão da PG é q = 3/2
Termos da PA:
T1 = 18/q = 18/32 = 18 . 2/3 = 6. 2 ⇒ T1 = 12
T2 = 18
T3 + 3 = 18.q ⇒ T3 =18 x 3/2-3 = 9 x 3 – 3 = 27 – 3 ⇒ T3 = 24
Portanto, a razão da PA será:
r = T2 – T1 = 18 – 12 ⇒ r = 6
ou
r = T3 – T2 = 24 – 18 = 6
Vamos analisar as alternativas:
A) A razão da progressão aritmética é inferior a 5.
r = 6 > 5. A alternativa está incorreta.
B) A razão da progressão geométrica é superior a 2.
q = 3/2 = 1,5 > 2
A alternativa está incorreta.
C) Um dos técnicos calibrou menos que 13 instrumentos.
A alternativa está correta.
D) Um dos técnicos calibrou mais que 25 instrumentos.
A alternativa está incorreta.
E) Um dos técnicos calibrou um número ímpar de instrumentos.
Todos (12, 18 e 24). A alternativa está incorreta.
GABARITO: C
FONTE: Ponto dos Concursos
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
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S=54
x-r + x + x+r =54
x=18=a2
substituindo e adicionando 3 ao último termo temos
(21+r) / 18 = 18 / (18-r) → r² + 3r - 54 = r' = 6 r" = -9
PA (12 , 18 , 24) razão 6
PG (12, 18, 27) razão 1,5
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Eu fiz assim: Fui tentando com cada uma das alternativas e resolvi em menos de 3 minutos.
a1= 12 ; a2= 18 ; a3= 24
-------> Perceba que a razão é +6, logo é uma P.A. Então, elimine as alternativas ( a ; b )
A alternativa ''c'' diz que um dos técnicos calibrou menos de 13, sim! O técnico a1 fez apenas 12.
A alternativa "d" diz que um deles calibrou mais de 25, não há essa possibilidade.
A alternativa ''e'' diz que um deles calibrou um número ímpar, não há também essa possibilidade.
Portanto, alternativa "C"
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Eu fiz assim: Fui tentando com cada uma das alternativas e resolvi em menos de 3 minutos.
a1= 12 ; a2= 18 ; a3= 24 --> A soma 12+18+24 = 54
-------> Perceba que a razão é +6, logo é uma P.A. Então, elimine as alternativas ( a ; b )
A alternativa ''c'' diz que um dos técnicos calibrou menos de 13, sim! O técnico a1 fez apenas 12.
A alternativa "d" diz que um deles calibrou mais de 25, não há essa possibilidade.
A alternativa ''e'' diz que um deles calibrou um número ímpar, não há também essa possibilidade.
Portanto, alternativa "C"
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Esse é o pior professor do Qconcursos. Que explicação sem didática foi essa?
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P.A ( x-r, x , x+r) = 54
efetuando- se a soma descobre se que X, segundo termo é 18, tendo o,primeiro termo 12 e razão 6 ( 12,18,24).
aumentando se 3 ao último termo temos uma PG ( 12, 18,27) razão 1,5. Testando as alternativas a correta é a letra C.
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Se são 3 termos de uma PA, os 54 instrumentos será o Sn da PA.
Sn = (a1+an)*n/2
S3 = (a1 + a3)*3/2
54*2/3 = a1 + a3
a1 + a3 = 36
Logo, a2 = 54 – 36 = 18.
18 – r = a1
18 + r = a3
Por tentativa e erro encontra-se a1 = 12, a3 = 24.
PA. 12, 18, 24, r = 6;
PG. 12, 18, 24+3, q = 3/2.
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Não entendi como os colegas chegaram a r=6 na PA.
Cheguei a a2=18
Mas se a razão fosse 4 por exemplo, a1=14 e a3=22 e a soma tb daria 54...
Alguém poderia me explicar como chegaram a r=6??? Se puder ser no privado agradeço...
Muito obrigada amigos do QC!!!
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PA:
Técnico 1: x - r
Técnico 2: x
Técnico 3: x + r
Somando os termos da PA:
(x - r) + x + (x + r) = 54
3x = 54
x = 54/3
x = 18
Logo, o técnico 2 calibrou 18 instrumentos.
PG:
Técnico 1: x/q
Técnico 2: x (já descobrimos que é 18)
Técnico 3: x.q
Somando os termos da PG:
(x/q) + x + (x.q) = 54 + 3 (substitui o x por 18, pois descobrimos anteriormente que o técnico 2 calibrou 18 instrumentos)
18/q + 18 + 18.q = 57 (divide tudo pelo q)
18/q + 18/q + 18.q/q = 57/q (corta os denominadores "q")
18 + 18q + 18q² = 57q (organiza como equação do 2º grau)
18q² + 18q - 57q + 18 = 0
18q² - 39q + 18 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, resulta as raízes:
q' = 3/2 e q'' = 2/3
Agora, basta substituir as raízes pelo "q"
Técnico 1: x/q
1º) 18/q'
18/3/2
36/3
12
ou
2º) 18/q''
18/2/3
54/2
27
(Note que não pode ser a raiz q'', pois o técnico 1 calibrou menos instrumentos do que o técnico 2 - que calibrou 18 instrumentos. Logo, o que será 3/2)
Técnico 2: x (já descobrimos que é 18)
Técnico 3: x.q
18.3/2
54/2
27
CONCLUSÃO:
PA:
Técnico 1: 12
Técnico 2: 18
Técnico 3: 24
- Raiz: 18 - 12 = 6
PG:
Técnico 1: 12
Técnico 2: 18
Técnico 3: 27
- Raiz: 3/2
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Fiquei com a mesma dúvida que a Mari Lana
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Então, se são 54 instrumentos e são 3 técnicos
<< 54/3=18 (se fosse dividido igualmente), mas não é igualmente <<>> 18 -- 18 -- 18
<< por tentativa e erro, percebi que, se eu tirar 6 do 1º 18 e colocar no 3º 18
<< fica assim, 12 -- 18 -- 24, cuja soma é 54.
<< então, adiciona 3 ao maior número
<< 12 -- 18 -- 27 (24+3)
<< Para ser PG, tem que multiplicar pela razão...
oras,,, nãoo posso multiplicar por 1... por motivos óbvios,,,
nem por 2 pq 12*2=24 , o que ultrapassa o 2º termo (18)...
resolvi então multiplicar por 1,5
<<>> 12*1,5=18 <<>> 18*1,5=27...
pronto
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rapazzzzz. se cai uma dessa eu deixo em branco kkk
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Queria entender todas essas 'tentativas e erros' para se chegar de cara ao valor 6 da razão da PA.. se atribuíssemos qualquer outro valor, a soma dos 3 termos também daria 54.. todavia, quando chegasse na PG, daria errado..
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Prezados, encontrei um fórum com a resposta comentada. A explicação do professor está correta, ele só não foi tão didático como muitos esperevam. Vejam:
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=6553
Bons estudos.
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Questão resolvida no vídeo do link abaixo.
https://www.youtube.com/watch?v=RyEKvUGeWK4
Bons estudos.