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Fórmula do termo geral de uma PA:
an = a1 + (n – 1).r
a20 – a1 = a1 + (20 – 1).r – a1 = 19.r
a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a1 + (8 – 1).r + a1 + (9 – 1).r = a1 + (5 – 1).r + a1 + (3 – 1).r + 189
a1 + 7.r + a1 + 8.r = a1 + 4.r + a1 + 2.r + 189
9.r = 189
r = 21
a20 = 19.r = 19.21 = 399 -------------- Alternativa (E)
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a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a5 + a3 = a8 (5+3=8)
a9 = 189
189/9=21
Então a sequência e de 21 em 21. (a1=21)
Total de 20.
20*21= 420 (a20=420)
a20-a1 = 420-21 = 399
Resposta: E
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Ainda não entendi...e muito menos as explanações das duas colegas.
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A progressão aritmética é uma sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um
número e seu antecessor resulta em um valor constante r .
Partindo desta definição e de acordo com o enunciado, tem-se:
a8 + a9 = a5 + a3 + 189 equação I
a20 - a1 = ?
Sabe-se que:
a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
...
a20 = a1+ 19r
Substituindo os termos na equação I, tem-se:
(a1 + 7r) + (a1 + 8r) = (a1 + 4r) + (a1 + 2r) + 189
2a1 + 15r = 2a1 + 6r + 189
15r - 6r = 189
9r = 189
r = 21
Finalizando, tem-se que:
a20 = a1 + 19r
a20 - a1 = 19r
a20 - a1 = 19 x 21
a20 - a1 = 399
Resposta E)
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a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a1 + (8 – 1).r + a1 + (9 – 1).r = a1 + (5 – 1).r + a1 + (3 – 1).r + 189
a1 + 7.r + a1 + 8.r = a1 + 4.r + a1 + 2.r + 189
9.r = 189
r = 21
a20 - a1 = a1 + 19r - a1 = 19r = 19*21= 399
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Vai explicar mal no inferno...
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- Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a3 = a1 + 2r
- Formúla:
An = a1 + (n - 1).r
- Resolução:
Para resolver à questão devemos substituir cada elemento da PA pela fórmula:
a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a8 = a1 + (8 – 1).r
a9 = a1 + (9 – 1).r
a5 = a1 + (5 – 1).r
a3 = a1 + (3 – 1).r
Substituindo na expressão, fica dessa forma:
a1 + (8 – 1).r + a1 + (9 – 1).r = a1 + (5 – 1).r + a1 + (3 – 1).r + 189
a1 + 7.r + a1 + 8.r = a1 + 4.r + a1 + 2.r + 189
2a1 + 15.r = 2a1 + 6r + 189
15.r - 6.r = 2a1 - 2a1 + 189
9.r = 189
r = 189/9
r = 21
A questão pede o seguinte: a diferença(-) entre o último(a20) e o primeiro(a1) termo dessa progressão:
OBS: a20 = a1 + 19r , então:
a20 - a1 =
a1 + 19r - a1 =
19r = 19*21 = 399
LETRA e) 399
Bons estudos! ;)
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Fiz assim:
a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a8 = a5 + 3r e a9 = a3 + 6r
>>>> Substituindo na fórmula de cima fica:
a5 + 3r + a3 + 6r = a5 + a3 + 189
>>>> elimina-se A5 e A3, pois passando para o outro lado fica negativo, sobrando somente 3r + 6r)
9r = 189
r= 21
>>>>> FORMULA GERAL:
An = a1 + ( N -1). R
A20 - a1 = (20-1) . 19
A20 - a1 = 399
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Como o menor termo apresentado foi a3, deixei todos em função desse [a5 = a3 + 2r; a8 = a3 + 5r...]
Equação original: a8 + a9 = a5 + a3 + 189 , substituindo fica:
a3 + 5r + a3 + 6r = a3 + 2r + a3 + 189, resolvendo:
2a3 - 2a3 + 11r - 2r = 189 9r = 189 r = 21
Sabendo que a20 = a1 + 19r, temos que a diferença entre eles será 19 r
21 * 19 = 399
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Boa noite a todos!
Para entendermos a questão precisamos entender o conceito da PA. PA é uma sequência constante de adição de termos. Reparem:
PA = (3,6,9,12,...)
- O primeiro termo é o a1. No exemplo acima ele é o 3.
- A razão é a diferença entre dois termos consecutivos, sempre da direita pra esquerda. Então, temos que a razão é 6 - 3 = 3
- De maneira análoga notamos que o próximo número da sequência é sempre o termo antecessor somado da razão. Acima temos que o a1 é 3 e a razão é 3, logo: a1+r = 6
No caso do exercício ocorre o seguinte:
a3 = a1 (base de tudo) + duas vezes a razão, pois se add uma vez apenas a razão encontraríamos a2. Fazendo todas as equivalências:
a3 = a1 + 2r (pra guardar de vez: 3 = 1 que é o termo inicial + 2, ou seja, 3));
a5 = a1 + 4r (3 = 1 que é o termo inicial + 4, ou seja, 4));
a8 = a1 + 7r
a9 = a1 + 8r
De acordo com o exercício: a1 + 7r + a1 + 8r = a1 + 4r + a1 + 2r = 189
--> isolo o 189. Então os termos que estão do mesmo lado que ele passam pra cá subtraindo
a1 + 7r + a1 + 8r - a1 - 4r - a1 - 2r = 189
9r = 189
r = 21
O exercício quer o a1 e 0 a20. isolando o próprio enunciado achamos o a9, pois a8 + a9 = a5 + a3 + 189 nada mais é do que:
a9 = a5 + a3 + 189 - a8
Corto a5 e a3 com a8, sobra a9 = 189
O que é a9 mesmo? a1 + 8r, logo:
a9 = a1 + 8r
189 = a1 + 8 x 21
189 = a1 + 168
a1 = 21
E a20? a20 = a1 + 19r
a20 = 21 + 19 x 21
a20 = 420
Como foi pedido a diferença do último com o primeiro, pra finalizar (ufa, ufa!) é:
a20 = 420 - a1 = 21
total: 399
Desculpem me alongar...
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SIMPLIFICANDO A QUESTÃO
NO DERAM NO ENUNCIADO A SEGUINTE JUNÇÃO
A8+A9 = A5+A3+189 RESOLVENDO FICAR ASSIM
A17 = A8+189 RESOLVENDO DE NOVO PASSO A PASSO
A17 - A8 = 189
A9 = 189 ACHAMOS O VALOR DE A9 COMO É UMA PA POSITIVA POIS O VALOR DE A9 É PORSITIVO O PROXIMO VALOR QUE É O A10 VAI SER OBVIAMENTE MAIOR, ENTÃO PODEMOS CONCLUIR QUE A DIFERENÇA ENTRE A1 E A20 VAI SER UM VALOR MAIO QUE A9 QUE É 189, A RESPOSTA NESSA CASSO É 399 LETRA E POIS É O UNICO VALOR MAIOR QUE 189, NA PROVA NAO PRECISAMOS FICAR ENROLANDO MUITO FAZENDO CALCULOS E CALCULOS DECORANDO FORMULAS E FORMULAS SENDO QUE AS ALTERNATINAS ABCDE JA RESOLVEM META DA QUESTÃO...
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Fui pela logica e gracas a Deus deu certo.
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A questão deu: a8 + a9 = a5 + a3 + 189
Usando o Termo Geral da P.A.: an = a1 + (n-1) * r
a8 = a1 + (8-1) * r
a8 = a1 + 7*r
a9 = a1 + (9-1) * r
a9 = a1 + 8 * r
a5= a1 + (5-1)*r
a5 = a1 + 4*r
a3 = a1 + (3-1)*r
a3 = a1 + 2*r
O que resulta em:
a1 + 7*r + a1 + 8*r = a1 + 4*r + a1 + 2*r + 189
Isolando o 189:
a1 + 7*r + a1 + 8*r - a1 - 4*r - a1 - 2*r = 189
Juntando os termos semelhantes:
(a1 + a1 - a1 - a1) e (7r + 8r - 4r - 2r)
0 + 9*r = 189
r = 189/9
r = 21
Se substituir esse valor no a20 encontraremos o resultado a diminuição:
a20 = a1 + (20 - 1) * 21
a20 = a1 + 19 * 21
a20 = a1 + 399
a20 - a1 = 399
GABARITO (E)
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A diferença entre o último e o primeiro termo corresponde a20 – a1
Calculando a20 em função do termo geral, temos a20= a1+ 19R
a20– a1= a1+ 19R – a1
a20– a1 = 19R
a8+ a9 = a5 + a3 + 189
(a1+ 7R) + (a1+ 8R) = (a1+ 4R) + (a1+ 2R) + 189
2 x a1+ 15R = 2 x a1+ 6R + 189
15R = 6R + 189
9R = 189
R = 21
a20– a1= 19R
a20– a1= 19 x 21
a20– a1= 399
Resposta: E