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Hola.
um cateto é x e a hipotenusa é (x+1), então:
38 < (x+1) < 44
38-1 < (x+1)-1 < 44-1
37 < x < 43, então a Hipotenusa pode ser: {38, 39, 40, 41, 42}
testando algumas medidas verifica-se :
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41² = 40² + c² => c = 9, portanto as medidas são : 41 , 40 , 9, perimetro = 90 (D)
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Gabarito: Letra D
I) Segundo o enunciado a hipotenusa poderá ser 39; 40; 41; 42; 43
II) Outra informação do enunciado é que um dos catetos é um número consecutivo à hipotenusa, isto quer dizer que se determinarmos o valor da hipotenusa como 41, um dos catetos terá valor 40. Veja que logicamente o cateto não pode ser maior do que a hipotenusa.
III) Então para fazer o exercício temos que fazer algumas tentativas, escolhendo um valor da hipotenusa dentre os possíveis. Você irá perceber que apenas um valor escolhido permite que a raíz quadrada seja um número inteiro.
IV) Fazendo as tentativas descobre-se que o valor da hipotenusa deverá ser 41 e seu respectivo cateto 40.
Assim teremos
hip² = cat² + cat²
41² = 40² + cat²
1681 = 1600 + cat²
cat² = 1681 - 1600
cat² = 81
cat = raíz quadrada de 81
cat = 9
V) Encontramos todos os lados do triângulo, agora é só somar:
41 + 40 + 9 = 90
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Luis Fernando, obrigada pelos esclarecimentos!!!
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hip² = cat² + cat² ----> X=(38,39,40,41,42)
(x+1)² = (x)² + cat²
x² +2x + 1 = x² + cat²
cat² = x² +2x + 1 - x²
cat² = 2x + 1
Agora fica bem mais simples identificar que o valor corresponde a 9, pois
cat² = 2.(40) + 1
cat² = 81
cat = 9
Apenas para X=40 tem-se uma raiz inteira.
logo, somando todos os lados temos:
40+41+9 =90
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Fiz assim:
teorema de pitágoras (triângulo retângulo)
hipotenusa² = cateto² + cateto²
o problema deu que um cateto e a hipotenusa são consecutivos.
atribui então;
cateto 1 = x
hipotenusa = x + 1
apliquei o teorema: (x + 1) ² = x² + c²
fica: x² + 2x + 1 = x² + c²
sobram: c² = 2x + 1
PERÍMETRO é a soma de todos os lados. logo: (x + 1) + (x) + (2x + 1)
chega-se a perímetro = 4x + 2
analisando as alternativas, a única equação que dá exata (lembre-se que o problema disse que "os lados de um triângulo retângulo são expressas por números inteiros") é aquela que diz que o perímetro achado (4x + 2) = 90 - pq esta é a única equação q dá exata, as demais alternativas não.
*** 4x + 2 = 90
4x = 88 / x = 22 (número exato)
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hipotenusa pode ser = 40, 41, 42, 43 (38 < H < 44 e H = X + 1)
cateto X = 39, 40, 41, 42
cateto Y = ?
Y² + X² = H²
Y² + X² = (X+1)
Y² + X² = X² + 2X + 1
Y² = 2X+1 donde Y = são as raízes positiva e negativa de (2X+1) e, agora, não tem mais jeito senão substituir os valores para X:
X(39), Y²=79....não tem raiz exata, pois a questão disse ser nº inteiro;
X(40), Y²=81....Y=9....Perímetro= X+Y+H = 40+9+41 = 90
X(41), Y²=83....
X(42), Y²=85....
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1º- O problema diz que um dos catetos e a hipotenusa são números consecutivos, portanto, só pode ser o triângulo pitagórico 5, 12, 13.
2º- Depois diz que a hipotenusa mede mais do que 38 cm e menos do que 44 cm. O único número multiplicado pela hipotenusa 13 que está dentro dessa margem é o 3 (13x3= 39). Portanto a hipotenusa é 39.
3º- Agora é só multiplicar os catetos 5 e 12 por 3 tb, temos um cateto valor 15 (5x3) e o outro cateto de 36 (12x3).
4º - Somando os valores encontrado para obter o perímetro: 15+36+39 = 90
Alternativa D
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H(41)2 -C(40)2 =1681-1600=C81 RAIZ QUADRADA DE 81 =9 .PORTANTO 41+40+9=90
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Temos 2 medidas clássicas do triângulo retângulo : 3, 4, 5 e 5, 12, 13
1º) 3, 4 e 5: a hipotenusa é múltiplo de 5 e deve estar entre 38 e 44 = 40
Assim, multiplicar por 8 o perímetro do triângulo clássico = 8 x 12 = 96
Haja vista que não temos esta opção, vamos ao 2º triângulo clássico.
2º) 5, 12 e 13: a hipotenusa é múltiplo de 13 entre 38 e 44 = 39
Multiplicar por 3 o perímetro = 3 x 30 = 90 => opção correta D
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Temos 2 medidas clássicas do triângulo retângulo : 3, 4, 5 e 5, 12, 13
1º) 3, 4 e 5: a hipotenusa é múltiplo de 5 e deve estar entre 38 e 44 = 40
Assim, multiplicar por 8 o perímetro do triângulo clássico = 8 x 12 = 96
Haja vista que não temos esta opção, vamos ao 2º triângulo clássico.
2º) 5, 12 e 13: a hipotenusa é múltiplo de 13 entre 38 e 44 = 39
Multiplicar por 3 o perímetro = 3 x 30 = 90 => opção correta D
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https://www.youtube.com/watch?v=h6ULCqsTQI8&list=RDCMUCYwl033W-nP0JEks8Pj5TeQ&start_radio=1&rv=h6ULCqsTQI8&t=15