CPR, creio que 1/11 é a nova quantidade de Y e não o sacrifício.
Pelos meus cálculos, a quantidade sacrificada será 1/110. Observe:
as novas quantidades consumidas serão:
X=11, Y = (0,1- S), sendo S a quantidade sacrificada para manter o mesmo nível de utilidade.
Logo,
U=2= 2.[(11)^1/2].[(0,1 - S)^1/2], simplificando o 2 e aplicando ln dos dois lados da equação, tem-se:
ln(1) = ln[(11)^1/2].[(0,1 - S)^1/2], aplicando as propriedades de logarítimos, tem-se:
0 = 1/2.ln(11) + 1/2.ln(0,1 - S), pode-se simplificar o 1/2:
ln(11) = ln[(0,1 - S)^-1] ==> 11 = (0,1 - S)^-1
11 = 1/(0,1 - S) ==> 11.(0,1 - S) = 1
1,1 - 11.S = 1
11.S = 0,1 e, por fim,
S = 0,1/11 = 1/110. Logo, o sacrifício será 1/110 unidades de Y e não 1/6 e, por isso, a questão está errada.
Observe que se você fizer 0,1 - 1/110 será obtido 1/11, ou seja, o valor que você encotrou, que NÃO representa o sacrifício, mas tão somente a NOVA quantidade a ser consumida pelo consumidor. Creio que essa seja a forma correta de fazer. Abraço!
Essa questão seria muito trabalhosa se não nos déssemos conta de algo muito importante: não faz sentido consumir uma unidade em quantidades negativas!
Isso não existe!
Note que a situação inicial apresentada pela enunciado traz que o consumo do bem X é de 10 unidades e o consumo do bem Y é de 0,1 unidade (um décimo de unidade).
Se o consumo de Y fosse sacrificado em 0,166 (1/6) unidade isso significa que o consumo de Y seria negativo (pois 0,1 – 0,166 é igual a -0,066.
Como não faz sentido termos consumo negativo ( o mínimo do consumo é zero), questão errada