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Correta LETRA E
Questão complicada, por causa das contas, mas cheguei ao
seguinte resultado:
1: inventei valores para J (100) e K (50) - uma
certa quantia em J e metade dessa quantia em K
2: multipliquei J e K por seus respectivos juros (compostos)
(J gera um rendimento de ¼ = 25%)
(K gera um rendimento de ½ = 50%)
3: após multiplicar 4 vezes cada valor, por seu respectivo
rendimento, tem-se que K= 253,125 e J= 244,1406. Observe que É NESSE
MOMENTO que K supera J (supera em 8,9844)
4: fica a pergunta a ser respondida: superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J
(100). A fração da quantia inicial é 8,9844/100
5: substituindo nas alternativas que acha possível (dá para
eliminar, por exemplo, 5/8, pois 8,9844/100 nunca daria 5/8) percebe-se que 100
x 2,56 = 256 e 2,56 x 8,9844 é praticamente igual a 23, logo, marco a LETRA E
8,9844/100 = 23/256
Obs: obviamente seria a última questão que faria na prova ¬¬
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que lombra essa questão
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A dificuldade desta questão, como as mais duras em matemática financeira, é que deve-se acertar a forma de resolver.
Então vamos lá:
Investimento J:
Arbitrando o capital em 100, tem-se:
Mj=100.(1,25)^n
Daí, nesta questão a boa era ter em mente trabalhar nas frações.
Logo, segue:
Mj=100.(5/4)^n
Investimento K:
Mk=50.(1,5)^n
Por fração:
Mk=50.(6/4)^n
Atendendo ao enunciado, tem-se que:
Mk > Mj
Com esta afirmação do enunciado, deve-se fazer uma iteração dos valores de n.
Daí, chega-se à conclusão que n = 4
E seguiremos calculando a diferença Mk - Mj, para depois calcular a fração que será a resposta.
Temos:
Mk - Mj = 50.(6/4)^4 - 100.(5/4)^4
Mk - Mj = 50.[(6/4)^4 - 2.(5/4)^4]
Mk - Mj = 50.[(1296 - 1250)/256] = 50.(46/256)
Operando a fração, tem-se:
(Mk - Mj) / (100) = [50.(46/256)]/100 = 23/256
GABARITO LETRA "E"
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Supondo um investimento de 100 reais, considerando o tempo x igual a 1, o montante neste período é igual a M = 100(1+1/4)^1, ou seja, M = 125.
Seguindo este procedimento recursivamente para o investimento J = C, temos que:
Mj = C* (1+1/4)^x
Mj = C* (1+0,25)^x
Mj = C* (1,25)^x
Analogamente, para o investimento K = C/2, temos que:
Mk = C/2*(1+1/2)^x
Mk = C/2*(1,5)^x
Por hipótese, após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J, assim:
Mk>Mj
C/2*(1,5)^x > C* (1,25)^x
1/2*(1,5)^x > (1,25)^x
(1,5)^x/(1,25)^x > 2
(1,5/1,25)^x > 2
(1,2)^x > 2
Para valores naturais de x a desigualdade acima só ocorre para x≥ 4. O primeiro período em que Mk supera Mj é x = 4, então:
Mk – Mj = C/2*(1,5)^4 - C* (1,25)^4
Mk – Mj = C[1/2*(1,5)^4 - (1,25)^4]
Mk – Mj = C[1/2*(3/2)^4 - (5/4)^4]
Mk – Mj = C[1/2*81/16 - 625/256]
Mk – Mj = C[81/32 - 625/256]
Mk – Mj = C[(648 – 625)/256]
Mk – Mj = C*23/256
Gabarito: Letra “E".
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Supondo um investimento de 100 reais,
considerando o tempo x igual a 1,
o montante neste período é igual a M = 100(1+1/4)^1,
ou seja, M = 125.
Seguindo este procedimento recursivamente para o investimento J = C,
temos que: Mj = C* (1+1/4)^x Mj = C* (1+0,25)^x Mj = C* (1,25)^x
Analogamente, para o investimento K = C/2,
temos que: Mk = C/2*(1+1/2)^x
Mk = C/2*(1,5)^x
Por hipótese, após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J, assim:
Mk>Mj C/2*(1,5)^x > C* (1,25)^x
1/2*(1,5)^x > (1,25)^x
(1,5)^x/(1,25)^x > 2 (1,5/1,25)^x > 2 (1,2)^x > 2
Para valores naturais de x a desigualdade acima só ocorre para x≥ 4.
O primeiro período em que Mk supera Mj é x = 4,
então: Mk – Mj =
C/2*(1,5)^4 - C* (1,25)^4
Mk – Mj =C[1/2*(1,5)^4 - (1,25)^4]
Mk – Mj =C[1/2*(3/2)^4 - (5/4)^4]
Mk – Mj =C[1/2*81/16 - 625/256]
Mk – Mj =C[81/32 - 625/256]
Mk – Mj =C[(648 – 625)/256]
Mk – Mj =C*23/256
Gabarito: Letra “E".
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Vamos trabalhar com números para ficar mais fácil você acompanhar o desenvolvimento dessa questão. Suponha que investimos 200 reais no investimento J, e metade dessa quantia (100 reais) no investimento K. Ao final do primeiro período x, primeiro investimento gera um rendimento de 1/4 x 200 = 50 reais, e o segundo investimento gera um rendimento de 1/2 x 100 = 50 reais. Dessa forma ficamos com 250 reais investidos em J e 150 reais investidos em K. Ao final do segundo período x, ficamos com:
Montante em J = 250 + 1/4 x 250 = 312,50 reais
Montante em K = 150 + 1/2 x 150 = 225 reais
Seguindo esta mesma lógica, ao final do terceiro período x nós ficamos com:
Montante em J = 312,50 + 1/4 x 312,50 = 390,625 reais
Montante em K = 225 + 1/2 x 225 = 337,5 reais
Ao final do quarto período x nós ficamos com:
Montante em J = 390,625 + 1/4 x 390,625 = 488,281 reais
Montante em K = 337,5 + 1/2 x 337,5 = 506,25 reais
Veja que neste momento o montante no investimento K supera o montante no investimento J em 506,25 - 488,281 = 17,968 reais. Em relação à quantia aplicada inicialmente no investimento J (200 reais), esse valor corresponde a:
17,968 / 200 = 0,0898
Comparando este número com as alternativas de resposta, veja que ele se aproxima daquele valor presente na alternativa E, pois 23/256 = 0,0898. Este é o nosso gabarito. Vale dizer que nós encontramos um resultado aproximado pois fomos fazendo cálculos a partir de um exemplo concreto, sem utilizar fórmulas de matemática financeira, apenas raciocínio matemático. Caso você saiba utilizá-las, é possível fazer uma resolução ainda mais rápida e direta.
Resposta: E