SóProvas


ID
1222825
Banca
FCC
Órgão
METRÔ-SP
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática Financeira

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira dos investimentos os seus rendimentos obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a :

Alternativas
Comentários
  • Correta LETRA E


    Questão complicada, por causa das contas, mas cheguei ao seguinte resultado:


    1: inventei valores para J (100) e K (50) - uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K


    2: multipliquei J e K por seus respectivos juros (compostos)


    (J gera um rendimento de ¼ = 25%)

    (K gera um rendimento de ½ = 50%)


    3: após multiplicar 4 vezes cada valor, por seu respectivo rendimento, tem-se que K= 253,125 e J= 244,1406. Observe que É NESSE MOMENTO que K supera J (supera em 8,9844)


    4: fica a pergunta a ser respondida: superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J (100). A fração da quantia inicial é 8,9844/100


    5: substituindo nas alternativas que acha possível (dá para eliminar, por exemplo, 5/8, pois 8,9844/100 nunca daria 5/8) percebe-se que 100 x 2,56 = 256 e 2,56 x 8,9844 é praticamente igual a 23, logo, marco a LETRA E


    8,9844/100 = 23/256


    Obs: obviamente seria a última questão que faria na prova ¬¬


  • que lombra essa questão


  • A dificuldade desta questão, como as mais duras em matemática financeira, é que deve-se acertar a forma de resolver.

    Então vamos lá:

    Investimento J:

    Arbitrando o capital em 100, tem-se:

    Mj=100.(1,25)^n

    Daí, nesta questão a boa era ter em mente trabalhar nas frações.

    Logo, segue:

    Mj=100.(5/4)^n

    Investimento K:

    Mk=50.(1,5)^n

    Por fração:

    Mk=50.(6/4)^n

    Atendendo ao enunciado, tem-se que:

    Mk > Mj

    Com esta afirmação do enunciado, deve-se fazer uma iteração dos valores de n.

    Daí, chega-se à conclusão que n = 4

    E seguiremos calculando a diferença Mk - Mj, para depois calcular a fração que será a resposta.

    Temos:

    Mk - Mj = 50.(6/4)^4 - 100.(5/4)^4

    Mk - Mj = 50.[(6/4)^4 - 2.(5/4)^4]

    Mk - Mj = 50.[(1296 - 1250)/256] = 50.(46/256)

    Operando a fração, tem-se:

    (M- Mj) / (100) = [50.(46/256)]/100 = 23/256

    GABARITO LETRA "E"

  • Supondo um investimento de 100 reais, considerando o tempo x igual a 1, o montante neste período é igual a M = 100(1+1/4)^1, ou seja, M = 125. Seguindo este procedimento recursivamente para o investimento J = C, temos que: Mj = C* (1+1/4)^x Mj = C* (1+0,25)^x Mj = C* (1,25)^x Analogamente, para o investimento K = C/2, temos que: Mk = C/2*(1+1/2)^x Mk = C/2*(1,5)^x Por hipótese, após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J, assim: Mk>Mj C/2*(1,5)^x > C* (1,25)^x 1/2*(1,5)^x > (1,25)^x (1,5)^x/(1,25)^x > 2 (1,5/1,25)^x > 2 (1,2)^x > 2 Para valores naturais de x a desigualdade acima só ocorre para x≥ 4. O primeiro período em que Mk supera Mj é x = 4, então: Mk – Mj = C/2*(1,5)^4 - C* (1,25)^4 Mk – Mj = C[1/2*(1,5)^4 - (1,25)^4] Mk – Mj = C[1/2*(3/2)^4 - (5/4)^4] Mk – Mj = C[1/2*81/16 - 625/256] Mk – Mj = C[81/32 - 625/256] Mk – Mj = C[(648 – 625)/256] Mk – Mj = C*23/256

    Gabarito: Letra “E".

  • Supondo um investimento de 100 reais,

    considerando o tempo x igual a 1,

    o montante neste período é igual a M = 100(1+1/4)^1,

    ou seja, M = 125.

    Seguindo este procedimento recursivamente para o investimento J = C,

    temos que: Mj = C* (1+1/4)^x Mj = C* (1+0,25)^x Mj = C* (1,25)^x

    Analogamente, para o investimento K = C/2,

    temos que: Mk = C/2*(1+1/2)^x

    Mk = C/2*(1,5)^x

    Por hipótese, após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J, assim:

    Mk>Mj C/2*(1,5)^x > C* (1,25)^x

    1/2*(1,5)^x > (1,25)^x

    (1,5)^x/(1,25)^x > 2 (1,5/1,25)^x > 2 (1,2)^x > 2

    Para valores naturais de x a desigualdade acima só ocorre para x≥ 4.

    O primeiro período em que Mk supera Mj é x = 4,

    então: Mk – Mj =

    C/2*(1,5)^4 - C* (1,25)^4

    Mk – Mj =C[1/2*(1,5)^4 - (1,25)^4]

    Mk – Mj =C[1/2*(3/2)^4 - (5/4)^4]

    Mk – Mj =C[1/2*81/16 - 625/256]

    Mk – Mj =C[81/32 - 625/256]

    Mk – Mj =C[(648 – 625)/256]

    Mk – Mj =C*23/256

    Gabarito: Letra “E".

  • Vamos trabalhar com números para ficar mais fácil você acompanhar o desenvolvimento dessa questão. Suponha que investimos 200 reais no investimento J, e metade dessa quantia (100 reais) no investimento K. Ao final do primeiro período x, primeiro investimento gera um rendimento de 1/4 x 200 = 50 reais, e o segundo investimento gera um rendimento de 1/2 x 100 = 50 reais. Dessa forma ficamos com 250 reais investidos em J e 150 reais investidos em K. Ao final do segundo período x, ficamos com:

    Montante em J = 250 + 1/4 x 250 = 312,50 reais

    Montante em K = 150 + 1/2 x 150 = 225 reais

    Seguindo esta mesma lógica, ao final do terceiro período x nós ficamos com:

    Montante em J = 312,50 + 1/4 x 312,50 = 390,625 reais

    Montante em K = 225 + 1/2 x 225 = 337,5 reais

    Ao final do quarto período x nós ficamos com:

    Montante em J = 390,625 + 1/4 x 390,625 = 488,281 reais

    Montante em K = 337,5 + 1/2 x 337,5 = 506,25 reais

    Veja que neste momento o montante no investimento K supera o montante no investimento J em 506,25 - 488,281 = 17,968 reais. Em relação à quantia aplicada inicialmente no investimento J (200 reais), esse valor corresponde a:

    17,968 / 200 = 0,0898

    Comparando este número com as alternativas de resposta, veja que ele se aproxima daquele valor presente na alternativa E, pois 23/256 = 0,0898. Este é o nosso gabarito. Vale dizer que nós encontramos um resultado aproximado pois fomos fazendo cálculos a partir de um exemplo concreto, sem utilizar fórmulas de matemática financeira, apenas raciocínio matemático. Caso você saiba utilizá-las, é possível fazer uma resolução ainda mais rápida e direta.

    Resposta: E