SóProvas

ID
124258
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2010
Provas
Disciplina
Matemática Financeira
Assuntos

Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de:

Alternativas
Comentários
  • Pelo Regime de Juro Composto:(1,1)^1*(1,2)^1 = taxa final de juros1,1*1,2 = 1,32 para 2 anospara transformar para anual:(1,32)^1 = (1+i)^2(1+i) = raiz quadrada de 1,321+i = 1,1489i = 0,14890,1489 * 100 = 14,89%
  • (100 x 1,1)x1,2 = 132100 .... 132total = 32%se fosse juros simples daria: 16%como é juros compostos será um pouco menor do que 16%ficamos com a alternativa 'a' ou 'b'.calcula uma e a outra vai por exclusãoentão:1,1489 x 1,1489 = 31,9% (é a resposta)1,1525 x 1,1525 = 32,8% (passou)
  • Montante 1º ano = c(1 + 0,1)^1Montante Final = Montante 1º ano(1 + 0,2)^1Montante Final = c(1 + 0,1)(1 + 0,2)Montante Final = 1,32clogo uma única aplicaçãoMontante unica aplicação = c(1 + i)^2a questao pede montante unica aplicação = montante finalc(1 + i)^2 = 1,32c(1 + i)^2 = 1,32 --- na prova o ideal e usar das opções de resposta por não dispormos de calculadora(se usar 15,12% ==> 1,1525 ^2 = 1,3282 passa, 1,1489^2 = 1,3199 resposta aproximada) 1 + i = 1,1489i = 0,1489logo tx= 14,89%
  • Utilizando a capitalização composta com taxas de juros variáveis, temos:
    iac = (1+0.10)x(1+0.2)-1
    iac=0.32

    Agora basta aplicar a equivalência de juros compostos
    :
    (1+i)^n1 = (1+i)^n2
    (1+0.32)^1 = (1+i)^2
    1.32 = (1+i)^2
    raiz quadrada (1.32) = 1+i
    1.1489 - 1 = i
    i = 0.1489 = 14,89%

  • Foda é ter que achar a raiz quadrada de (1,32) na hora da prova...

  • Aos colegas para auxiliar no calculo da raiz quadrada de 1,32, sugiro a seguinte dica: tentar por aproximação e trabalhar com números inteiros, sendo assim Raiz de 132/100 , como raiz de 100 = 10,  depois vamos dividir o resultado por 10. 

    Trabalharemos com Raiz de 132. 
    Como 10² = 100, 11² = 121 , 12² = 144, então sabemos que a raiz de 132 está entre 11 e 12. Considerando 11,5 ² = 132,25, então a Raiz de 132 é menor que 11,5, dividindo por 10 (falamos que íamos dividir, lembra?) = 1,15 - 1 = 0,15  como a taxa é menor que  0,15 e só tem uma resposta que é 0,1489 ou 14,89%. 

    Tenso!!!! mas se treinar dá certo.

  • Imagine que o capital inicial é C. Se ele for aplicado por t = 1 ano a uma taxa j = 10% ao ano, no regime de juros compostos, o montante ao final deste período será:

    M = C x (1 + j)

    M = C x (1 + 0,10) = 1,1C

    Por sua vez, se aplicarmos o valor de 1,1C (valor resultante) por t = 1 ano e j = 20% ao ano, o montante final será:

    M = (1,1C) x (1 + 0,20) = 1,1C x 1,2 = 1,32C

    O exercício pede a taxa de juros que, se aplicada ao capital inicial C, fornecerá o montante final M = 1,32C ao final de t = 2 anos. Para isto, basta usarmos a fórmula:

    M = C x (1 + j)

    1,32C = C x (1 + j)

    1,32 = (1 + j)

    Como resolver esta equação acima para obter o valor de j? Particularmente, considero mais interessante testar as alternativas, uma vez que você não terá uma calculadora em mãos. Testando a primeira, se j = 14,89%, temos:

    (1 + 14,89%) = 1,1489x1,1489 = 1,3199, aproximadamente 1,32

    Esta deve ser a resposta, mas por cautela vamos testar mais a alternativa seguinte, com j = 15,25%:

    1,1525 x 1,1525 = 1,3282

    Veja que a alternativa A aproxima-se mais de 1,32, portanto este é o gabarito. As demais alternativas resultariam em valores ainda maiores.

    Resposta: A

  • Método direto envolve apenas potências de 2, o que facilita as contas:

    sqrt(1+x) = 1 + 1/2.x - 1/8.x^2 + 1/16.x^3 - (...)

    sqrt(1,32) ≅ 1 + 1/2 (2^5/10^2) - 1/8 (2^10/10^4) + 1/16 (2^15/10^6) =

    = 1 + (2^4/10^2) - (2^7/10^4) + (2^11/10^6) =

    = 1 + 0,16 - 0,0128 + 0,002048 = 1,162048 - 0,0128 = 1,1492 ou seja, 14,92% aproximado

    Resposta: letra A