Passos para resolver a questão:
1) aceitar as quatro proposições como Verdadeiras (V), pois (i) parte-se do princípio do terceiro excluído e (ii) o enunciado nunca mente;
2) resolver quase sempre da última proposição ("Ora, Diogo é desonesto") para a primeira ("Antônio é honesto ou Bernardo é honesto");
3) sempre que puder, transformar os nomes ("Antônio", "Bernardo", "Carlos" e "Diogo") em letras, para facilitar e ganhar tempo no rascunho: "A", "B, "C" e "D";
4) construir a tabela verdade (http://gills.com.br/concursos/materias/raciocinio-logico/tabela-verdade.pdf); não tem para onde correr: decore-a, nos intervalos dos jogos do Brasileirão ;) ;
5) transforme cada uma das proposições (a última quase sempre é uma proposição simples) em formatos simbólicos. Ex.: "Carlos é honesto se e somente se Diogo é desonesto" vai ficar "C é honesto <--> D é desonesto";
6) como se sabe que (i) a quarta e última proposição ("Ora, Diogo é desonesto") é verdadeira (ver Passo 2, supra) e (ii) a terceira proposição, assim como todas as demais, vai ter de dar um resultado verdadeiro (= V), então (iii) a proposição "Carlos é honesto se e somente se Diogo é desonesto" vai ficar assim: "C é desonesto <--> V = V"... depois, assim: "__ <--> V = V"... depois, assim "? <--> V = V". Portanto, qual o valor lógico da primeira proposição simples?;
7) aí, é só ir na tabela verdade e ver na coluna "SE E SOMENTE SE" (<-->) quais os resultados que só são V com a segunda proposição sendo também V. Na tabela-verdade, apenas uma proposição composta que carregue dois V pode ter o resultado lógico V. Assim, as proposições da terceira assertiva ("Carlos é honesto se e somente se Diogo é desonesto") são verdadeiras;
8) agora, é só replicar os passos 6 e 7 para as duas proposições compostas restantes e depois comparar com as alternativas da questão, que, neste caso, é a letra B.
Tabela verdade - construção: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_verdade
Tabela verdade construída: http://gills.com.br/concursos/materias/raciocinio-logico/tabela-verdade.pdf