SóProvas


ID
1354180
Banca
INEP
Órgão
ENEM
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2X • 5y • 7z, na qual x , y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

Alternativas
Comentários
  • Fórmula para descobrir a quantidades de divisores; decompor o número em fatores primos, no caso esse já está fatorado,

    e somar 1 ao expoente,por exemplo;

    180 = 2²*3².5

    qt = quantidades de divisores.

    qt = (2+1)*(2+1)*(1+1)

    qt = 3*3*2

    qt = 18

    qt = 180 = 18

    qt = n = 2^x*5^y*7^z

    qt = n =  (x+1)*(y+1)*(z+1)

    como são todos os divisores menos o n...

    qt = n = (x+1)*(y+1)*(z+1) - 1

    gabarito : letra e)


  • Do enunciado, vemos que "N" não é múltiplo de 7, logo na decomposição 2x • 5y • 7z, o "z" será igual a zero (z = 0), x > 0 e y > 0, logo, N = 25y

    Para encontrarmos o número de divisores positivos de N, basta somarmos "+ 1" nos expoentes da decomposição de N, ou seja: (x + 1)(y + 1), ou (x + 1)(y + 1)(z + 1)

    Logo o, o número total de divisores positivos, diferentes de N é: (x + 1)(y + 1)(z + 1) - 1, retiramos com "- 1", pois este é o próprio N que não queremos contabilizar no total de divisores positivos do mesmo.

    Resposta: Alternativa E.
  • Bem, no caso a fórmula de Maik Olliver está correta! Todavia vou contar o jeito que fiz esta questão. Pelo enunciado, sabia que "Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7." Então, para o número N não ser múltiplo de 7, seu expoente, "z" seria igual a 0. A partir daí eu tomei um número para ter exemplo. Pensei no próprio número 10 = 2 x 5 = 2^1 . 5^1. Logo os expoentes seriam x = 1, y = 1 e z = 0. Fatorando, temos que os divisores são 2, 5, 10 e 1 ( que divide todos os números). Na questão ele não quer que incluamos o próprio número N, no caso o dez ( "O número de divisores de N, diferentes de N") = temos 3 divisores. Substituindo o x, y e z por 1, 1 e 0 nos itens, somente na letra - "e" a resposta é igual a 3 divisores. Então, letra e.

  • Para achar os divisores de um número, deve-se fatorar  Somar um (1) a cada expoente dos fatores primos obtidos com a decomposição.

    Ficando (x+1).(y+1).(Z+1)

    e para ficar diferente de N, subtraimos -1

    Resultado: (x+1).(y+1).(Z+1) -1

    Resposta : letra e

  • Qual foi a utilidade de anunciar nesta questão que '' N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.''?

  • N = 2^x+1 x 5^y+1 x 7^z+1

    N => (x+1) x (y+1) x (z+1)

    Letra E

  • Dá pra responder pelas regras de divisibilidade.

    Sabendo que N não é múltiplo de 7, z = 0. (aqui já eliminamos as alternativas A, C e D que zeram a expressão).

    Sabendo que para ser múltiplo de 10 o número deve terminar em zero, podemos atribuir valores e testar as opções B e E.

    Ex: 10 = 2^1 * 5^1, assim, x = 1; y = 1 e z = 0.

    Os divisores de 10 = 1,2,5,10; três divisores fora ele mesmo. A expressão que satisfaz essas condições é a alternativa E.

  • eu pensei uma coisa nada ave e deu certo kk rindo de desespero

    meu pensamento: temos divisores positivos e negativos se o enunciado diz que x,y,z são números inteiros não negativos, então o número negativo só pode ser o -1, por isso marquei a letra E, pensamento bem nada ave mais deu certo

  • Questão deveria ter sido anulada e só uma pequena correção a alguns comentários de uns colegas. A questão pede a quantidade TOTAIS INTEIROS de divisores diferentes de N e não a quantidade de divisores NATURAIS POSITIVOS diferentes de N, contudo a resposta relaciona a segunda, por isso a precisão da sua anulação. Veja:

    • Para calcular a quantidade TOTAL de divisores de um número a gente fatora ele (decomposição em fatores primos), acrescenta uma unidade para cada expoente e MULTIPLICA POR 2 esse resultado, já que para cada número inteiro positivo existe um inteiro negativo.

    • Agora para calcular a quantidade TOTAL de divisores POSITIVOS nós fazemos os mesmos passos anteriores, mas não ´multiplicamos por 2.

    OBS: para calcular a quantidade de divisores totais de um número N diferente dele mesmo nós subtraímos uma unidade do resultado, pois é essa unidade que representa tal número N.

    Fazendo do modo correto, N = 2^X • 5^Y • 7^Z

    Pegue expoentes e some uma unidade

    (x+1)(y+1)(z+1)

    Pronto, agora multiplique por 2 esse resultado.

    2(x+1)(y+1)(z+1).

    Ok, agora como ele quer a quantidade total menos os divisores, subtraia uma unidade conforme foi dito em cima.

    2(x+1)(y+1)(z+1) - 1.

    Pronto, essa deveria ser a resposta com a quantidade totais de divisores do número N. Por isso a necessidade da anulação dela.