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Questão de TESTE DE HIPÓTESES p/ PROPORÇÕES usando DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.
A questão afirmou que H0 é verdadeira, logo: - sucesso = 2/3
- fracasso = 1/3
Agora faz-se a pergunta, quando eu REJEITO H0? RESPOSTA: quando tivermos nenhum sucesso (zero sucesso), ou seja P(0); ou na quando tivermos 1 sucesso, ou seja, P(1).
P(0) = Combinação3,0 * p^0 * q^3
P(0) = 1 * 1 * (1/3)^3 = 1/27
P(1) = C3,1 * p¹ * q²
P(1) = 3 * (1/3) * (2/3)² = 2/9
P(0) + P(1) = 1/27 + 2/9 = 7/27
GABARITO: "E"
BONS ESTUDOS !!!
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Boa resolução. Porém é importante salientar que em:
P(1) = 3 * (1/3) * (2/3)² = 2/9
o correto é:
P(1) = 3 * (2/3) * (1/3)² = 2/9
p e q estão trocados nessa linha.. só que a ordem dos fatores não altera o produto, o que não atrapalhou o resultado final
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Ótima resolução da Soane.
Outra maneira de resolver seria calcular a probabilidade de que H0 fosse aceita, no caso, a probabilidade de 2 e de 3 sucessos.
Com esses dados, achei o resultado de 20/27; ou seja, a probabilidade de ocorrer H0 é de 20/27. Portanto, a probabilidade de não ocorrer é o seu complemento, 7/27.
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Fiz como o fernando, ficou assim:
P(2) = 2/3 * 2/3 * 1/3 * C3,2
P(2) = 12/27
P(3) = 2/3 * 2/3 * 2/3
P(3) = 8/27
P(2) + P(3) = 12/27 + 8/27 = 20/27
Se essa é a probabilidade de H0 ser aceita, então a probabilidade de ser rejeitada é seu complemento:
27/27 - 20/27 = 7/27
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Macete:
Probabilidade de se rejeitar Ho quando Ho é verdadeira(Erro tipo I): Testa-se Ho na região crítica(Probabilidade de Ho ser verdadeira na região de rejeição de Ho)
Probabilidade de se aceitar Ho quando Ho é falsa(Erro tipo II): Testa-se H1 na região de aceitação de Ho(Probabilidade de H1 ser verdadeiro na região onde Ho é verdadeiro)
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Gabarito: E.
Questão bacana, mistura as distribuições com teste de hipótese. Vou tentar ajudar com mais detalhes para os colegas que possuem mais dificuldade com a matéria:
Bom, inicialmente nós temos que identificar o tipo de distribuição da variável. Pelos dados do enunciado, temos uma distribuição binomial. Isso se deve ao fato de que repetiremos um experimento "n" vezes, no caso o n=3, e queremos saber quantos sucessos nós podemos constituir. Você pode chegar a conclusão de que se trata de uma binomial caso lembre que ela é uma bernuolli feita "n" vezes.
Continuando, o enunciado quer saber a probabilidade de você rejeitar a hipótese nula dado que ela é verdadeira. O examinador pediu, em outras palavras: candidato, calcule o erro de tipo I. Ele, nada mais é do que uma probabilidade condicional.
A questão falou que nós aceitaremos a hipótese nula se PELO MENOS 2 sucessos ocorrerem em 3 tentativas. Isso significa que você pode acertar 2 em 3 OU acertar as 3. Então, a nossa probabilidade de aceitar a hipótese nula será a soma dessas duas opções que disse acima. Em uma binomial nós calculamos a probabilidade da seguinte forma: C(n,k) x p^n x q^(n-k). Em outras palavras: Faremos uma combinação entre o numero de tentativas e o número de acertos x a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos x probabilidade de fracasso elevada ao número de tentativas - o número de acertos. Matematicamente:
Para 2 sucessos: C 3,2 x (2/3)² x (1/3)¹ = 4/9.
Para 3 sucessos: C 3,3 x (2/3)³ x (1/2)^0 = 8/27.
4/9 + 8/27 = 20/27.
Então, a probabilidade de aceitar H0, dado que ela é verdadeira, é de 20/27. Assim, a probabilidade de rejeitar H0, dado que ela é verdadeira, é o complementar dessa probabilidade, isto é, 1-(20/27) = 7/27.
Espero ter ajudado.
Bons estudos!
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"A probabilidade de Ho ser rejeitada, dado que Ho é verdadeira" A questão pede Erro do tipo I
- α (alfa): probabilidade de ocorrer erro do tipo I (Rejeita-se Ho quando ela é verdadeira)
Se Ho é verdadeira, temos que p = 2/3 e consequentemente q = 1/3
A questão fala que Ho será aceita se pelo menos 2 das 3 tentativas. Mas não queremos que ela seja aceita, queremos que seja rejeitada.
Logo, se ocorrer Nenhum ou apenas 1 sucesso, será rejeitada!!
Então α = P (x = 0) + P(x = 1)
α = (1/3 * 1/3 * 1/3) + (1/3 * 1/3 * 2/3 * 3)
α = 1/27 + 6/27
α = 7/27 ✅
❗ Obs: O 3 veio da permuta, já que não sabemos em qual das 3 tentativas vai ocorrer o p❗