Questão 1474531

• Banca: VUNESP
• Órgão: UNESP
• Ano: 2014
• Provas: VUNESP - 2014 - UNESP - Vestibular - Primeiro Semestre
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função Exponencial; Funções

No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função D(t) = D(0) · e^k·t , em que D(t) representa a área de desma- tamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t = 0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação In2 ≅ 0,69 , o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente

• A. 51.
• B. 115.
• C. 15.
• D. 151.
• E. 11.

Gabarito: B

Comentários

• Temos que:
  
  D(t) = área desmatada, onde "t" está em anos;
  k = taxa média anual de desmatamento;
  
  Assim:
  
  D(t) = D(0)e^kt
  2D(0) = D(0)e^0,006t
  2 = e^0,006t
  ln(2) = ln(e^0,006t)
  0,69 = 0,006t.ln(e)
  
  Assim:
  
  t = 0,69/0,006 = 115 anos
  
  Obs.: ln(e) = 1.
  
  Resposta: Alternativa B.
  

• A função que modela o desmatamento é dada por:

  D(t) = D(0) e^{kt}

  O enunciado pede o tempo em anos para que o desmatamento seja o dobro do valor inicial, ou seja, D(t) = 2D(0). Substituindo na equação:

  2D(0) = D(0)e^{ \frac{0,6}{100} t} \\ \\ 2 = e^{\frac{0,6}{100} t}

  Aplicando o logaritmo natural nos dois membros da equação, temos:

  ln(2) = ln(e^{\frac{0,6}{100} t}) \\ \\ 0,69 = \dfrac{0,6}{100} t} \\ \\ t = \dfrac{69}{0,6} \\ \\ 
t = 115

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