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Gabarito C;
A regra é que a distribuição será entre as empresas que fizeram mais de 150 pontos. Só as 3 primeiras atendem a essa regra, então somando os pontos dessas empresas temos um total de 500 + 300 + 200 = 1000
pontos. A segunda regra é que a distribuição será proporcional aos pontos, então:
Empresa I = (500/1000) x 10 = (1/2) x 10 = 5 estações ==> C(10,5) = (10x9x8x7x6) / (5x4x3x2x1) C(10,5) = (10x9x8x7) / (5x4) C(10,5) = (2x9x2x7) C(10,5) = 252
Empresa II = (300/1000) x 10 = (3/10) x 10 = 3 estações ==> C(5,3) = (5x4x3) / (3x2x1)
C(5,3) = (5x4) / (2x1)
C(5,3) = 5x2
C(5,3) = 10
Empresa III = (200/1000) x 10 = (2/10) x 10 = 2 estações ==> Sobram as 2 estações da terceira empresa. Assim teremos nesta apenas 1 possibilidade; Então ===> As possibilidades de distribuição das estações entre as empresas
qualificadas será ===== 252 x 10 x 1 = 2520.
Bons estudos! ;)
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DIRETAMENTE PROPORCIONAL:
EMPRESA 1 = 5 ESTAÇÕES
EMPRESA 2 = 3 ESTAÇÕES
EMPRESA 3 = 2 ESTAÇÕES
C10, 5 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5!/ 5! 5! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6/ 5! = 252
C5, 3 = 5 x 4 x 3/ 2! 3! = 5 x 4/ 2! = 10
C2, 2 = 1
TOTAL DE MANEIRAS = 252 x 10 x 1 = 2520 MANEIRAS
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A multiplicação das combinações ocorre porque a distribuição para as empresas é feita de maneira independente, ou seja, uma não influencia na outra.
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O segredo da analise combinatória é saber identificar logo de cara do que se trata. Na questão é um caso de combinação, pois a ordem de distribuição dentro de cada empresa não importa.
Ficando o calculo apenas combinações---> C 10,5= 252/ C5,3=10 / C2,2=1. 252x10x1=2520!
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Que Jesus me ajude!
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Empresas aprovadas: empresa I= 500 pontos; empresa II= 300 pontos; empresa III= 200 pontos.
x= número de estações para empresa I
y= número de estações para empresa II
z= número de estações para empresa III
obs1: pelo comando da questão, temos: x+y+z=10 (1)
obs2: a divisão das estações é diretamente proporcional à pontuação da empresa, ou seja: (x/500)=(y/300)=(z/200)=k
assim, temos: x=500k (2) ; y=300k (3) ; z=200k (4)
substituindo(2),(3) e (4) em (1), temos:
500k+300k+200k=10
1000k=10 ------> k=1/100.
voltando nas equações (2),(3) e (4), temos: x=5; y=3; z=2
temos um conjunto de 10 estações para distribuir entre as empresas I,II e III. Como a ordem não importa, estamos diante de um problema de combinação. Assim, temos:
De quantas maneiras podemos combinar 5 estações dentre 10 possíveis para a empresa I? ------> C10,5 = 252
De quantas maneiras podemos combinar 3 estações dentre 5 estações possíveis,aqui são 5 estações possíveis porque 5 estações já foram ocupadas pela empresa I, para empresa II? -------> C5,3 = 10
De quantas maneiras podemos combinar 2 estações dentre 2 estações possíveis, aqui são 2 estações possíveis porque foram 5 estações para empresa I e 3 estações para a empresa II, para a empresa 3? -----> C2,2 = 1
Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), temos: C10,5 x C5,3 x C2,2 = 252 x 10 x 1 =2520 maneiras diferentes de distribuir as estações entre as empresas I,II,III.
Sê forte e confie no Senhor!
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10 estações, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ tracinhos , ou seja,10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Até aqui,relativamente tranquilo! Só que temos que prestar atenção no seguinte,como a divisão será feita de maneira proporcional a pontuação,ou seja,quem teve mais pontos ficará com mais estações,uma empresa ficará com 5 estações,outra com 3 estações e uma empresa com 2 estações.A pergunta que deve ser feita é a seguinte: a ordem das estações distribuidas nas empresas importa?Sabemos que não,pois o que as empresas querem são as estações,logo, temos que corrigir.A correção é feita dividindo aquela multiplicação monstruosa acima pela multiplicação de 5! x 3! x 2!,que é exatamente a correção feita dentre cada uma das três empresas,pois a primeira empresa conseguiu 5, a outra 3 e a última 2 estações,e a ordem das estações entre cada uma das empresas não importa,reiterando.Com isso chegamos ao resultado 2520.
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Empresas que obtiveram mais de 150 pts: empresas 1, 2, e 3.
Dividindo proporcionalmente as estações entre elas usando regra de 3:
-empresa 1: 5 estações (500x10/1000=5)
-empresa 2: 3 estações (300x10/1000=3)
-empresa 3: 2 estações (200x10/1000=2)
Fazendo o desenho, fica assim:
1 1 1 1 1 2 2 2 3 3
O "1" repete 5 vezes. O "2" repete 3 vezes. O "3" repete 2 vezes.
Agora, é só aplicar a fórmula de permutação com repetição:
10! / 5! 3! 2! = 2520
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Gabarito - C
1) Peguei as proporções das empresas com mais de 150 pontos:
I - 500 → 500 = 0,5 = 5 estações.
1000
II - 300 → 300 = 0,3 = 3 estações.
1000
III - 200 → 200 = 0,2 = 2 estações.
1000
Pontuação total = 1.000
2) Fiz as respectivas combinações de acordo com as proporções:
C, 10,5 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 252
5 . 4 . 3. 2 . 1
C, 5,3 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 10
3 . 2 . 1
C, 2,2 = 1
252 . 10 . 1 = 2520
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Permutação com Repetição
total: 10
Rep: 5
Rep: 3
Rep: 2
Resolução: 10! / 5!3!2! = 2520
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Link de aula sobre permutação com repetição
https://youtu.be/EH_eAYbwr84
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O segredo da questão está na parte "distribuídas entre as empresas aprovadas proporcionalmente ao número de pontos ". Apenas 3 empresas foram aprovadas
I- 500 vai receber 5
II-300 vai receber 3
III-200 vai receber 2
Então entre as 10 distribuições, a empresa I pode receber 5, então: 10x9x8x7x6/5!= 252
A empresa II entre as 5 que sobraram poderá escolher 3, então 5x4x3/3!= 10
E a empresa III sobrou apenas duas opções, para os 2 que deverá receber: 2x1/2!= 1
Então
252x10x1= 2520
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(10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5! 3! 2!)
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Observe que apenas as três primeiras empresas fizeram mais de 150 pontos. Somando os pontos dessas empresas temos um total de 500 + 300 + 200 = 1000 pontos. A distribuição das estações é feita de maneira proporcional ao número de pontos de cada empresa. Assim, as quantidades de estações com cada empresa são:
Empresa I = (500/1000) x 10 = (1/2) x 10 = 5 estações
Empresa II = (300/1000) x 10 = (3/10) x 10 = 3 estações
Empresa III = (200/1000) x 10 = (2/10) x 10 = 2 estações
Para saber de quantas formas podemos distribuir as cinco estações da primeira empresa, basta fazermos a combinação das 10 estações em grupos de 5:
C(10,5) = (10x9x8x7x6) / (5x4x3x2x1)
C(10,5) = (10x9x8x7) / (5x4)
C(10,5) = (2x9x2x7)
C(10,5) = 252
Após distribuirmos as cinco estações da primeira empresa, sobram outras cinco estações para escolhermos 3 para a segunda empresa:
C(5,3) = (5x4x3) / (3x2x1)
C(5,3) = (5x4) / (2x1)
C(5,3) = 5x2
C(5,3) = 10
Após distribuirmos essas três estações da segunda empresa, sobram as duas estações da terceira empresa. Ou seja, para esta última empresa temos apenas uma possibilidade.
As possibilidades de distribuição das estações entre as empresas qualificadas totalizam: 252 x 10 x 1 = 2520.
Resposta: C
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O método que eu usei.
1º Passo - As empresas IV e V não se habilitam, já excluam essas.
2º Passo - Se simplificarem, verão que a empresa I ficará com 50% das estações, a II, com 30%, e a III, COM 20%.
3º Passo - Agora, vamos pra combinação: C10,5 (Pra escolhermos as 5 estações que a I construirá), C5,3 (Pra escolher as 3 estações que a II construirá), e C2,2 (que foi o que sobrou pra III).
4º Passo - Multiplicar tudo: 252x10x1= 2520
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ESTE PROFESSOR É MUITO RUIM NO COMENTÁRIO ESCRITO
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Minha contribuição.
Observe que apenas as três primeiras empresas fizeram mais de 150 pontos. Somando os pontos dessas empresas temos um total de 500 + 300 + 200 = 1000 pontos. A distribuição das estações é feita de maneira proporcional ao número de pontos de cada empresa. Assim, as quantidades de estações com cada empresa são:
Empresa I = (500/1000) x 10 = (1/2) x 10 = 5 estações
Empresa II = (300/1000) x 10 = (3/10) x 10 = 3 estações
Empresa III = (200/1000) x 10 = (2/10) x 10 = 2 estações
Para saber de quantas formas podemos distribuir as cinco estações da primeira empresa, basta fazermos a combinação das 10 estações em grupos de 5:
C(10,5) = (10x9x8x7x6) / (5x4x3x2x1)
C(10,5) = (10x9x8x7) / (5x4)
C(10,5) = (2x9x2x7)
C(10,5) = 252
Após distribuirmos as cinco estações da primeira empresa, sobram outras cinco estações para escolhermos 3 para a segunda empresa:
C(5,3) = (5x4x3) / (3x2x1)
C(5,3) = (5x4) / (2x1)
C(5,3) = 5x2
C(5,3) = 10
Após distribuirmos essas três estações da segunda empresa, sobram as duas estações da terceira empresa. Ou seja, para esta última empresa temos apenas uma possibilidade.
As possibilidades de distribuição das estações entre as empresas qualificadas totalizam: 252 x 10 x 1 = 2520.
Resposta: C
Fonte: Direção
Abraço!!!
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Somente as empresas 1, 2 e 3 tem pontuação suficiente. Veja que a questão facilita usando valores fechados e múltiplos de 10. São dez empresas, cinco pra 1ª, três pra 2ª e duas pra 3ª
C = 10! / 5! 3! 2!
Usei esse método do escola de exatas: https://www.youtube.com/watch?v=f58aMzmuK4Q