Questão 1554313

• Banca: VUNESP
• Órgão: Prefeitura de São José dos Campos - SP
• Ano: 2015
• Provas: VUNESP - 2015 - Prefeitura de São José dos Campos - SP - Analista Técnico - Arquitetura; VUNESP - 2015 - Prefeitura de São José dos Campos - SP - Analista Técnico - Engenharia Civil
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; MMC e MDC; Razão e Proporção; e Números Proporcionais

Antonio criou uma senha com dois números inteiros positivos A e B, nessa ordem, ambos com dois dígitos. Para a criação da senha, ele utilizou os seguintes critérios:


• A razão entre o mínimo múltiplo comum de A e B e o máximo divisor comum de A e B é 30;
•  O mínimo múltiplo comum de A e B supera o máximo divisor comum de A e B em 145 unidades;
• A é menor que B, e a diferença B – A é mínima.


Conhecidos esses critérios, pode-se concluir corretamente que a soma A + B dos números utilizados por Antonio para a criação dessa senha é igual a

• A. 45.
  
  
• B. 55.
  
  
• C. 65.
  
  
• D. 75.
  
  
• E. 85.
  
  

Gabarito: B

Comentários

• Vamos nomear MMC AB = X  e MDC AB = Y
  Assim, A razão entre o mínimo múltiplo comum de A e B e o máximo divisor comum de A e B é 30 => X / Y = 30  eq 1 -> (X=30*Y)  eq 1.1 O mínimo múltiplo comum de A e B supera o máximo divisor comum de A e B em 145 unidades => X - Y =145   eq 2
  Logo temos um sistema simples. Substituindo a equação 1.1 na equação 2, temos: 30*Y - Y = 145  -> Y= 145 / 29 -> Y= 5  Substituindo o valor de Y na equação 1.1, temos: X=30*5 -> X= 150 Sabemos que A e B são números de 2 dígitos, portanto os números mínimos a serem considerados seriam (10 e 15), por tentativa e erro ( esse foi o método que utilizei), fiz os MMC's e MDC's de valores como (10 e 15), (15 e 20), (20 e 25) e cheguei nos números (25 e 30) onde os valores do MMC = 150 e MDC = 5.  Portanto, a soma de A+B = 25+30 = 55, resposta B
  

• vamos chamar MMC de X e MDC de Y como o amigo fabrico falou, teremos X/Y = 30, logo X=30Y e

  X-Y=145, logo X=145-Y

  Fazendo substituição de equações encontramos que X=150 e Y=5

  Existe uma propriedade que diz que o produto entre MDC e MMC é igual ao produto de seus números ou seja X*Y=A*B

  teremos então, 5*150=A*B > 750=AB

  Fazendo método inverso de Euclides podemos admitir que B-A=5(admitindo que B/A=1 com resto 5).

  Substituindo na equação anterior teremos que, A²+5A-750=0

  fazendo a equação de segundo grau concluímos que A=25

  750/25=30, logo B=30 e A=25, logo A+B=55

• Nossa tinha certeza que era a C, A sendo 15 e B sendo 50.