1° passo:
* Saber quais são os números primos. Resumindo, os Números Primos são aqueles que são divisíveis por ele mesmo ou por 1, ou seja, o 4 não é número primo porque é divisível por ele mesmo, por 1 e por 2 (veja que além do 1 e por ele mesmo, existe divisibilidade por dois). Já o número 3 é divisível por 1 e por ele mesmo, não existe outro número que possa ser divisível por 3 (isto é dito quanto a divisão inteira, 3/3 = 1 e 3/1 = 3, nota que o resultado é um número NATURAL). Não esqueça que o número 1 não é primo (por outra razão, mas sabendo isso já é o suficiente).
Aqui alguns deles e suficientes para resolver a questão, são esses:
2, 3, 5, 7, 11...
2° passo:
*Depois de listados os primeiros números primos. Faça algumas continhas, a partir das alternativas, começamos pela a alternativa A (assim faça por eliminação):
Alternativa A - (começando pelo número 5) é claro que não é, pois, mesmo elevado o número 2 ao quadrado e somar com ele mesmo, daria quatro (2^2 + 2^2 = 4) e não cinco (veja que esta é uma possibilidade, há mais possibilidades, nem assim resultara em 5), isso quer dizer que não a possibilidade de somar dois números primos que resultara no número cinco, portanto não precisa nem testar o próximo número.
Alternativa B - (começando pelo número 13) essa tem que testar os dois números; pois, (2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13), o primeiro número passou no teste, vamos para o próximo da mesma alternativa, que é o número 41 - se elevar o número 5 ao quadrado e somar com o 3 ao quadrado (5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34), resultara em 34, e não 41. Na mesma ideia se fizer outros testes veremos números menores ou maiores que 41. Então não pode ser está alternativa.
Alternativa C - (começando pelo número 17). Faça o teste - qual número primo elevado ao quadrado e somado com outro número primo elevado ao quadrado resultara em 17; se elevar o número 5 ao quadrado, o resultado será 25 (só assim já é maior que 17) e nem precisou somar com outro, então quais são os números primos menores que 5? Só pode ser os números primos 2 e 3. Vamos fazer o teste - (2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13), estes também não. E têm mais testes, se somar (3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18), visto isso sabe-se que não existe números primos que elevados ao quadrado e somados resulte em 17.
Alternativa D - (começando pelo número 29), o Gabarito é este. Fazendo os testes: (5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29), vejamos que o primeiro número passou no teste. Continuando, agora o segundo número que é o 34. Vamos para o teste: (5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34), concluir-se que os dois números da alternativa D são números possíveis, como resposta.
GABARITO - D
A questão pediu: "números que podem ser obtidos pela soma dos quadrados de dois números primos"
Uma observação: Segundo meu entendimento a questão não é passível de anulação como sugerido anteriormente pelo colega "Hitalo". O colega considerou o nº "1" como número primo, porém o nº "1" não é considerado um número primo.
Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos, o número 1 e o próprio número.
Segundo esta definição o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois divisores distintos. Seu único divisor é o próprio 1.
A) 5 já é um número primo; 2+9=11 que é um número primo. Como a questão está falando em somar, não poderia ser esta alternativa.
B) 1+3= 4(par); 4+1= 5(primo)
C) 1+7=8(par); 3+7=10(par)
D) 2+9=11(primo); 3+4=7(primo)
Eu fiz assim, e deu certo... Alguma observação? Me conte, não sei se daria certo em outra questão parecida