x² + 4y² - 100 = 0
4y² = 100 - x²
y² = (100 - x²) / 4
y = ± √[(100 - x²) / 4]
y = ± √(100 - x²) / √4
y = ± √(100 - x²) / 2 ⇒ Derivando
y' = ± [2x . 1 / 2√(100 - x²)] / 2
y' = ± [2x / 2√(100 - x²)] / 2
y' = ± [x / √(100 - x²)] . 1 / 2
y' = ± x / 2√(100 - x²)
..........................................
Ponto (8, 3), absisca 8. Substituindo ⇒
y' = ± x / 2√(100 - x²)
y' = ± 8 / 2√(100 - 8²)
y' = ± 4 / √(100 - 64)
y' = ± 4 / √36
y' = ± 4 / 6
y' = ± 2 / 3 ⇒ Inclinação da reta tangente no ponto P. Determinar qual será o sinal.
De modo simples, a equação geral é uma elipse de centro na origem. O ponto dado pertence ao primeiro quadrante, logo, a equação da reta tangente neste ponto só poderá ter coeficiente angular negativo (será uma reta decrescente), então:
m = -2 / 3
..........................................
Equação da reta tangente ⇒
y - yo = m . (x - xo)
y - 3 = -(2 / 3) . (x - 8) ⇒ Multiplicar tudo por 3
3y - 9 = -2 . (x - 8)
3y - 9 = -2x + 16
2x + 3y - 25 = 0
FONTE: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140511074836AAX3gfn
Derivando a equação da curva:
d/dx(x²+4y²-100)=0
2x+(dy/dx)(2*4y)=0
dy/dx=m=coef.angular da reta tangente que passa pelo ponto (x,y)=(8,3)
Logo:
2x+8my=0 substutindo x=8 e y=3
2*8+8m*3=0
Assim: m=-2/3
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Logo a reta tangente é a seguinte:
y=-2/3x+c passa pelo ponto (8,3)
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Calculando c substituindo o ponto (8,3)
3=-2/3*8+c
c=25/3
--------------------------------------------------
Então temos a reta tangente a curva passando por (8,3):
y=-2/3x+25/3
Reescrevendo
2x+3y-25=0 Letra A)