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Questões de Hipérbole

ID
733552
Banca
Exército
Órgão
EsPCEx
Ano
2011
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9 x2 - y2 = 36x + 8y - 11 é dada por

Alternativas
Comentários

  • Vamos arrumar essa equação. Ao separar as icógnitas temos que:

    9x² - 36x = y² + 8y -11

    Desenvolvendo...

    9(x² - 4x) = y² + 8y - 11

    Perceba que temos 2 produtos notáveis incompletos.

    9[(x - 2)² - 4] = [(y + 4)² - 16] - 11

    Desenvolvendo...

    9(x - 2)² - 36 = (y + 4)² - 27

    9(x - 2)² - (y + 4)² = 9

    (x - 2)²/1 - (y + 4)²/9 = 1

    Temos, portanto, uma Hipérbole de Centro C(2,-4), eixo real a = 1 e eixo imaginário b = 3.

    Alternativa E

    BRASIL!

  • poderia matar a questão quando apareceu o (y-y0) com sinal negativo ?

  • Sim, WeeZy.

  • liguem-se nisso meus amigos!

     

    Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

     

    A=B → circunferência

    A≠B (sinais iguais) → elipse

    A≠B (sinais diferentes) → hipérbole

ID
1123237
Banca
FUMARC
Órgão
PC-MG
Ano
2013
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Um artista recebeu uma encomenda para fazer um painel, esculpindo em uma chapa de aço folhas e flores. Para determinar o formato do painel, o artista considerou a chapa de aço como um plano cartesiano cujos eixos a dividiram em quatro quadrantes. Utilizou um segmento de reta e o deslocou nesse plano cartesiano, de tal forma que uma das extremidades permanecia sempre no eixo y e o seu ponto médio permanecia sempre no eixo x. Dessa maneira, o formato da figura desenhada pela outra extremidade é uma

Alternativas
Comentários

  • Infelizmente não estou conseguindo entender a questão. Pode ser que ela esteja mal-formulada?

  • 1) A chapa foi dividida em um plano cartesiano, com 4 quadrantes.

    2) Para o segmento de reta, uma extremidade (ponta) está 'presa' ao eixo y, e o seu ponto médio está 'preso' ao eixo x.

    Os deslocamentos possíveis do segmento de reta são:

    a) da esquerda para a direita no eixo y, subindo e descendo o ponto médio no eixo x nos quadrantes superiores.

    b) da esquerda para a direita no eixo y, subindo e descendo o ponto médio no eixo x nos quadrantes inferiores.

    O contorno criado pela outra extremidade da reta forma, seguindo os deslocamentos, uma elipse cujo raio menor encontra-se sobre o eixo y, e o raio maior sobre o eixo x.

  • o jeito é desenhar e conferir se sobrar tempo kkkkk

  • Tambem não entendi. se a extremidade do seguimento de reta está presa ao eixo y, ela só pode se movimentar sobre o eixo y, mesma coisa para o ponto médio preso ao eixo x.

ID
1583719
Banca
Exército
Órgão
IME
Ano
2011
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A equação da reta tangente à curva de equação x2 + 4y2 - 100 = 0 no ponto P(8,3) é:

Alternativas
Comentários

  • x² + 4y² - 100 = 0 

    4y² = 100 - x² 

    y² = (100 - x²) / 4 

    y = ± √[(100 - x²) / 4] 

    y = ± √(100 - x²) / √4 

    y = ± √(100 - x²) / 2 ⇒ Derivando 

    y' = ± [2x . 1 / 2√(100 - x²)] / 2 

    y' = ± [2x / 2√(100 - x²)] / 2 

    y' = ± [x / √(100 - x²)] . 1 / 2 

    y' = ± x / 2√(100 - x²) 

    .......................................... 

    Ponto (8, 3), absisca 8. Substituindo ⇒ 

    y' = ± x / 2√(100 - x²) 

    y' = ± 8 / 2√(100 - 8²) 

    y' = ± 4 / √(100 - 64) 

    y' = ± 4 / √36 

    y' = ± 4 / 6 

    y' = ± 2 / 3 ⇒ Inclinação da reta tangente no ponto P. Determinar qual será o sinal. 

    De modo simples, a equação geral é uma elipse de centro na origem. O ponto dado pertence ao primeiro quadrante, logo, a equação da reta tangente neste ponto só poderá ter coeficiente angular negativo (será uma reta decrescente), então: 

    m = -2 / 3 

    .......................................... 

    Equação da reta tangente ⇒ 

    y - yo = m . (x - xo) 

    y - 3 = -(2 / 3) . (x - 8) ⇒ Multiplicar tudo por 3 

    3y - 9 = -2 . (x - 8) 

    3y - 9 = -2x + 16 

    2x + 3y - 25 = 0 

    FONTE: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140511074836AAX3gfn

  • Derivando a equação da curva:

    d/dx(x²+4y²-100)=0

    2x+(dy/dx)(2*4y)=0

    dy/dx=m=coef.angular da reta tangente que passa pelo ponto (x,y)=(8,3)

    Logo:

    2x+8my=0 substutindo x=8 e y=3

    2*8+8m*3=0

    Assim: m=-2/3

    --------------------------------------------------

    Logo a reta tangente é a seguinte:

    y=-2/3x+c passa pelo ponto (8,3)

    --------------------------------------------------

    Calculando c substituindo o ponto (8,3)

    3=-2/3*8+c

    c=25/3

    --------------------------------------------------

    Então temos a reta tangente a curva passando por (8,3):

    y=-2/3x+25/3

    Reescrevendo

    2x+3y-25=0 Letra A)

ID
1761667
Banca
Exército
Órgão
EsFCEx
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Os vértices e os focos da hipérbole H coincidem, respectivamente, com os focos e os vértices da elipse E:  x2 + 5y2 = 20. A razão entre a excentricidade de H e a de E é igual a:

Alternativas
Comentários

  • Alguém??

ID
1899496
Banca
Marinha
Órgão
ESCOLA NAVAL
Ano
2013
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A equação 4x2 - y2 - 32x + 8y + 52 = 0, no plano xy, representa 

Alternativas
Comentários

  • Bizu pra vocês!

    Quando

    x²+y²........... é uma circunferência

    Quando

    Ax²+By²........ é uma elipse

    Quando

    x²-y²..............é uma hipérbole

    Nesse exercício é uma hipérbole

ID
2022547
Banca
Exército
Órgão
EsSA
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos P(x,y) desse plano sabendo que a distância de O a P é o triplo da distância de P a A, é uma

Alternativas
Comentários

  • 1° lembrar da fórmula da distância entre dois pontos.d=√(x-xo)²+(y-yo)

    2° igualar as duas distancias como diz a questão. Dop=3Dpa

    3° fica assim as distancias. √(x-0)²+(y-0)=3[√(x-8)²+(y-0)²].

    ai para sumir a raiz,é só elevar ao quadrado as duas equações.

    ficando [√(x-0)²+(y-0)]²={3[√(x-8)²+(y-0)²]}

    (x-0)²+(y-0)=9[√(x-8)²+(y-0)²

    agora é só desenvolver a expressao que fica x²+y²=9x²+9y²+144x+576

    8x²+8y²+144x+576=0 (para ficar melhor,é bom dividir por 8)

    x²+y²+18x+72=0

    4° se lembrar que para achar as coordenadas dos pontos é só dividir por (-2) os números que tem x sem ser ao quadrado,

    logo,fica Q(9,0) (y ficou 0 pq n tem y sem ser ao quadrado)

    5° para achar o raio é só fazer R=√a²+b²-c

    (a=coordenada x, b=coordenada y, c número da equação sem incógnita)

    6° partir para o abraço.

ID
2034616
Banca
Exército
Órgão
IME
Ano
2009
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Uma hipérbole de excentricidade √2 tem centro na origem e passa pelo ponto ( √5 ,1). A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é:

Alternativas
Comentários

  • Resolução: http://pir2.forumeiros.com/t21054-hiperbole

  • Letra A, Lembrando que são DUAS as retas que são tangente a hipérbole apresentada, e o problema quer UMA delas, veja o GRAFICO no final da resolução.

    ex=c/a =>2^½=c/a => 2=c^2/a^2 => c^2=2a^2

    c^2=a^2+b^2 => 2a^2=a^2=b^^2=> a^2=b^2=> a=b

    x^2/4-y^2/4=1 => x^2-y^2=4 => y=2x=>y=2x+K, a=b=2

    x^2/a^2-y^2/a^2=1 => x^2-y^2=a^2

    x^2-(2x+k)^2=4=>x^2-(4x^2+4xk+k^2)=4=>x^2-4x^2-4xk-k^2=4 => 

    -3x^2-4xk-k^2-4=0 => b^2-4ac=0 => a=-3;b=-4 e c=(-k^2-4)

    (-4k)^2-4*-3*(-k^2-4) => 16k^2-12k^2-48 => 4k^2=48=> k^2=12, k=+/-12^½ 

    y=2x+12^0.5 ou y=2x-12^0.5 

    y=2x+(2^2*3)^0.5=> y=2x+2*3^½ (*3^½ ) => 3^1/2y=2x*3^½ +/-6 . 

    Resolução completa Com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_71.html

  • Questão do IME no FME kkkkkkkkkkk

ID
2486653
Banca
IBEG
Órgão
SANEAGO - GO
Ano
2013
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A respeito da equação x2 /16-(3x-8)/8=(- y2 + 8y)/16 podemos afirmar que:

Alternativas
Comentários

  • Não entendi!!

    I - Se multiplicar todos os termos por 16 temos:

    x² - (6x - 16) = -y² + 8y

    x² + y² -6x - 8y +16 = 0

    (x - 3)² + (y - 4)² = 9

    logo se trata de uma equação de uma circunferência na qual o centro é (3, 4) e o raio é √9 = 3. Como o raio é o mesmo valor do x do centro então a circunferência é tangente ao eixo y no ponto (0,4)

ID
2537569
Banca
Exército
Órgão
IME
Ano
2017
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações:

Alternativas
Comentários

  • Segue a resolução na página 13:

    https://ensinoelite.com.br/elite2017/wp-content/uploads/2017/07/gabarito_ime_objetiva_elite_.pdf

  • Não amigo, ele pode ser praticado por militar, trata-se da única exceção dos crimes propriamente militares que um civil pode cometer.

ID
2811022
Banca
Marinha
Órgão
ESCOLA NAVAL
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Um Aspirante da Escola Naval observou que intersectando a superfície S: 2x2 - y2 + 4z2 = 1 com planos paralelos aos planos coordenados ele poderia obter, em cada plano, uma cônica. O Aspirante anota em cartões a equação de cada plano cuja intersecção com S seja uma cônica de distância focal igual a √6. Se ele anotou apenas uma equação por cartão, qual a quantidade de cartões que apresenta uma equação cuja intersecção com S é uma hipérbole?

Alternativas
ID
2813794
Banca
Exército
Órgão
EsPCEx
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Uma hipérbole tem focos F1(-5,0) e F2(5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0. O triângulo com vértices em F1 , P e Q tem área igual a

Alternativas
Comentários

  • (x-0)²/a²-(y-0)²/b²=1

    como o f1 é (-5,0) e f2 (5,0) significa que o centro esta em (0,0), por isso já substituir na formula.

    agora vamos descobrir o b, pois o a é 3 e o c é 5, o enunciado forneceu indiretamente.

    c²=a²+b² logo b=4

    agora é so substituir os valores (4,y) na equação de cima

    4²/3²-y²/4²=1

    y=4/3√7 .... isso é a altura

    Área=bxhx1/2

    b=5+3=8

    A=1/2.8.4/3√7

    A=16/3√7

    ALTERNATIVA A

  • Não entendi

    Sendo os vértices do triângulo F1, P e Q esse não é um triângulo retângulo

    eu penso q para ser retângulo deveria ter vértices F1, 4 e Y

    ajudem-me a entender

  • https://www.youtube.com/watch?v=o-j6VWY-ZRI

  • https://www.youtube.com/watch?v=gwRolkMUNbQ

ID
3031288
Banca
IDECAN
Órgão
IF-PB
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

Alternativas
Comentários

  • Que o contrato tem que estar averbado ok, mas não tem que ter clausula de vigência. Banca inventou esse requisito inexistente na lei. Questao passível de anulacao

  • Dado os vértices (2, 0) e (2, -4), obtém-se:

    I. 2a = 0- (-4)

    2a = 4

    a = 2

    II. O centro da hipérbole está no ponto (2, -2) logo:

    c = -2 + √13 - (-2)

    c = √13

    III. Como: c² = a² + b²

    b² = (√13)² - 2²

    b² = 9

    b = 3

    IV. Substituindo os valores na fórmula da hipérbole:

    (x - 2)²/3² - (y - (-2))²/2² = 1

    (x² -4x +4)/9 - (y² + 4y + 16)/4 = 1

    Utiliza-se um denominador comum (36):

    (4x² -16x +16)/36 - (9y² + 36y + 36)/36 = 36/36

    4x² -16x +16 - 9y² - 36y + 36 = 36

    4x² -16x +16 - 9y² - 36y = 0

    4x² - 9y² - 16x - 36y + 16 = 0

  • As respostas estão erradas. Como a hipérbole tem eixo real no Y então a equação fica [(y - yc)^2]/a^2  -  [(x - xc)^2]/b^2  =  1.

    a resposta seria -4x^2 + 9y^2 + 16x -36y -16 = 0

    Eu verifiquei na internet que a banca anulou essa questão por não conter a resposta correta.