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Reescrevendo os depoimentos e considerando
B: Berenice pagou
C: Carlota pagou
A: Augusto pagou
Temos:
Augusto: ~(B v ~C) = ~B ^ C
= V, temos que ~B e C são verdadeiros (I)
Berenice: C --> A
= V, da equação (I) sabemos que C é verdade, logo, A é verdade
Carlota: ~B v ~A
= V
C = V
Conclusão:
* Berenice não pagou (~B = V)
* Carlota pagou (C = V)
* Augusto pagou (A = V)
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Os 3 falam a verdade. Carlota afirma que pagou. Berenice afirma que Augusto pagou em decorrência de Carlota ter pago. A dúvida recai sobre Berenice e precisamos analisar a declaração de Augusto. Basta fazer a negação da declaração de Augusto e teremos que BERENICE NÃO PAGOU E CARLOTA PAGOU. Resposta letra A.
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B: Berenice pagou
A: Augusto pagou
C: Carlota pagou
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Inferindo usando as regras da lógica de primeira ordem
1. ~(B ou ~C) premissa
2. C ---> A premissa
3. C premissa
4. ~A ou ~B premissa
5. ~B e ~~C De Morgan em 1
6. ~B e C Dupla negação em 5
7. ~B Simplificação 6
8. A Modus Pones 2, 3
9. C e A União 3, 8
10. C e A e ~B União 7, 9
11 cqd
Pelas inferências acima temos que:
C: Carlota pagou, ~B: Berenice não pagou, A: Augusto pagou
Regras do livro: Iniciação a lógica Matemática de Edgard de Alencar Filho; Lógica e Algebra de Boole de Jacob Daghlian.
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Alternativa a.
Considerando, conforme o enunciado, verdadeiros os depoimentos:
Augusto: "Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou." (V)
Berenice: "Se Carlota pagou, então Augusto também pagou." (V)
Carlota: "Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não pagou." (V)
Reescrevendo, respectivamente, as declarações de Augusto e de Berenice:
Augusto: "É falso que Berenice pagou ou Carlota não pagou." (V)
Carlota: "Eu paguei (V) e sei que pelo menos um dos dois outros não pagou (V)." (V)
Da declaração de Carlota - ligada pela conjunção e (^) - concluímos que, de fato, ela pagou; a proposição com realce cinza precisa ser, necessariamente, verdadeira, pois a conjunção SOMENTE será verdadeira quando TODAS as PROPOSIÇÕES simples forem verdadeiras.
Análise da declaração de Berenice:
Berenice: "Se Carlota pagou (V), então Augusto também pagou (V)." (V)
Justificativa: A declaração é uma condicional (se, então: " - - - >") e, como sabemos que Carlota pagou, a proposição com realce violeta é verdadeira, pois, a única hipótese de ser falsa é quando temos V - - > F (F).
Por último:
Augusto: "É falso que Berenice pagou (V) ou Carlota não pagou (F)." (V)
Justificativa: como Carlota pagou, sua negativa é falsa; a proposição com realce turquesa é verdadeira; pois, a disjunção "ou" (v) precisa de PELO MENOS uma proposição verdadeira para que seu valor lógico seja V.
Conclusão:
Carlota pagou.
Augusto pagou.
Berenice não pagou.
Bons Estudos!
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GABARITO: LETRA A
O problema informa que os três falaram a verdade e para começar a resolucionar este tipo de questão devemos ir atrás da verdade absoluta, aquela que é incontestável. E qual é ela?
É a afirmação de Carlota, veja:
Carlota: "Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois não pagou".
Então, a partir da afirmação de Carlota, sabemos que ela pagou. Como a Carlota pagou, concluímos da afirmação de Berenice que Augusto também pagou. Como Carlota e Augusto pagaram, já podemos concluir que Berenice não pagou (já que Carlota afirmou também que um dos três não pagou). Essa conclusão é confirmada pela afirmação de Augusto, que disse que " não é verdade que Berenice pagou".
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P1: ~ (B.pg v ~C.pg) = ~B.pg ^ C.pg = verdadeiro
V ^ V = VERDADEIRO
P2: C.pg --> A.pg = verdadeiro
V --> V = VERDADEIRO
P3: C.pg ^ (~B.pg v ~A.pg) = verdadeiro
V ^ (V v F)
V ^ V = VERDADEIRO
GABARITO ''A''
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Vamos usar as proposições abaixo para resolver a questão:
A = Augusto pagou
B = Berenice pagou
C = Carlota pagou
Portanto, as três frases podem ser escritas da seguinte forma:
Augusto: ~(B ou ~C)
Berenice: C --> A
Carlota: C e (~A ou ~B)
Vamos assumir que C é V. Analisando a frase de Berenice, concluímos que A é V também. Na conjunção dita por Carlota, sabemos que C é V. Como A é V, então ~A é F.
Isso obriga ~B a ser V, caso contrário a disjunção (~A ou ~B) seria F, e a frase de Carlota seria F.
Como ~B é V, então B é F. E como C é V, então ~C é F também. Portanto, (B ou ~C) é F, o que torna a frase de Augusto V.
Assim, assumindo que C é V, foi possível tornar as 3 frases verdadeiras, como manda o enunciado. E, neste caso, B é F e A é V. Ou seja, Carlota e Augusto pagaram, enquanto Berenice não. Isso torna a letra A, e apenas a letra A, correta.
Resposta: A
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Proposições:
P = Berenice pagou
Q = Carlota Pagou
R = Augusto pagou
Verdades ditas por cada um:
Augusto: ~ (P v ~Q) = ~P ^ Q (Lembrando que a negação de ^ é v e vise-versa.)
Berenice: Q --> R
Carlota: Q ^ P v R
A única forma de ~P ^ Q ser verdadeira é V ^ V, ou seja, é verdade que Berenice NÃO pagou E Carlota pagou.
Sabendo disso é só jogar as verdades nas proposições compostas montadas anteriormente:
Augusto: ~P ^ Q = V ^ V = V
Berenice: Q --> R = V --> V = V (aqui temos certeza que Q é V, diante disso, podemos também ter certeza que R é V pois, se fosse F, a proposição composta seria FALSA).
Carlota: Q ^ (P v R) = V ^ (F v V) = V (para a disjunção OU ser V, pelo menos uma das proposições deve ser V).
Conclusão:
Agusto: Berenice NÃO pagou E Carlota pagou.
Berenice: Se Carlota pagou, então Augusto pagou.
Carlota: Carlota pagou E (Berenice NÃO pagou OU Augusto pagou).
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eu peguei a primeira prpodi;'ao e fiz a tabela verdade dela, depois foi na l[ogica msm