SóProvas

ID
1613521
Banca
FUVEST
Órgão
USP
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A equação ݊x2 + 2x + y2 + my = n, em que ݉m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

Alternativas
Comentários
  • Completando os quadrados na equação x² + 2x + y² + my = n:

    x² + 2x + y² + my = n
    x² + 2.1.x + 1² + y² + 2.(m/2).y + (m/2)² = n + 1² + (m/2)²
    (x + 1)² + (y + m/2)² = n + 1² + m²/4

    Assim, temos o centro da circunferência: C(-1,-m/2).

    Sabe-se que a reta  y = -x + 1  contém o centro da circunferência, assim:

    (-m/2) = -(-1) + 1
    -m/2 = 1 + 1 = 2
    m = - 4

    Logo, substituindo o ponto (-3, 4) na equação x² + 2x + y² + my = n, pois sabemos que a reta y a intercepta neste ponto:

    (-3)² + 2(-3) + 4² - 4(4) = n
    9 - 6 + 16 -16 = n
    n = 3


    Resposta: Alternativa A.

  • Dado x² + 2x + y² + my = n, vem: C = {2x/-2 ; m/-2}, portanto, C = {-1 ; -m/2}

    Aplicando C em y = -x + 1 => -m/2 -1-1=0 => m = -4

    Igualando e substituindo os valores de m, x e y. (x,y)=(-3,4)

    x² + 2x + y² + my - n = y = -x + 1

    Obtém-se: n = 3

    Resposta: m = -4 , n = 3; Letra A

  • x + 2x + y + my = n

    essa equação é a geral da circunferência. Pra obtermos o raio e o centro, temos que passar pra reduzida, vamos fazer isso completando quadrados:

    x² + 2x + 1 + y² + my + m²/4 = n + 1 + m²/4

    (x² + 1) + (y² + m/2) = n + 1 + m²/4

    (x - xc)² + (y - yc)² = R²

    Assim:

    Centro: ( -1, -m/2)

    Quadrado do raio: n + 1 + m²/4

    Ora, o enunciado diz que o centro pertence à reta y = - x + 1. Vamos trocar as incógnitas pelas coordenadas do centro para descobrir m

    -m/2 = 1 + 1

    - m = 4

    m = -4

    Para achar n, precisamos achar o raio. Agora que sabemos m, podemos saber corretamente as coordenadas do centro e calcular a distância entre ele e o ponto da circunferência que também pertence à reta. Tal distância é igual ao raio da circunferência, que possui o n como incógnita. Assim, vamos o descobrir.

    C (-1, 2)

    Dcp² = R² = (-1 - (-3))² + (4 - 2)² = 4 + 4 = 8

    8 = n + 1 + 16/4

    8 = n + 5

    n = 3

    Letra A

    Fuvest 2023