Questão 1613533

• Banca: FUVEST
• Órgão: USP
• Ano: 2014
• Provas: FUVEST - 2014 - USP - Vestibular 1° fase - 2015
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Trigonometria

Sabe-se que existem números reais  A  e  x0 , sendo A > 0 tais que

                       sen x + 2 cosx = A cos(x- x0)

para todo x  real. O valor de A é igual a

• A. √2
• B. √3
• C. √5
• D. 2√2
• E. 2√3

Gabarito: C

Comentários

• De acordo com o enunciado, temos:
  
  senx + 2cosx = A cos(x - x₀) 
  
  Desenvolvendo:
  
  1/A.senx + 2/A.cosx = cos(x - x₀) 
  
  Onde  cos(x - x₀)  = senx₀.senx + cosx₀.cosx , assim:
  
  1/A.senx + 2/A.cosx = senx₀.senx + cosx₀.cosx 
  
  Como essa equação é uma igualdade: 
  
  1/A = senx₀
  2/A = cosx₀ 
  
  Elevando ambas equações ao quadrado, somando e aplicando a relação fundamental da trigonometria: 
  
  (1/A)² + (2/A)² = 1 
  A² = 5
  
  Então: A = √5, pois  A > 0.
  
  
  Resposta: Alternativa C.
  
  

• Senx + 2cosx = A.cos(x - xo)

  Senx + 2cosx = A.(cosx.cosxo + senx.senxo)

  Sen x + 2cos x = A.cos x.cos xo + A.sen x.sen xo

  Observamos que, nessa igualdade, temos termos multiplicando sen x e cos x. Sempre que isso acontece, tais termos são iguais. Assim:

  A.senxo = 1

  A.cosxo = 2

  cos xo = 2/A

  sen xo = 1/A

  Encarando essas 2 informações como um triângulo retângulo, percebemos que A é a hipotenusa e 2 e 1 são os catetos

  Assim, A² = 2² + 1²; A = V5

  Letra C

  Fuvest 2023