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--6--x--4--x--3---
x
--3--x--2--x--1---
= 432
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Alguém com didática pode explicar como se resolve esta questão?
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Gabarito: Letra A.
Como a quantidade de rapazes e de moças nos dois
degraus deve ser a mesma, concluímos que teremos a seguinte quantidade de
pessoas em cada degrau:
Degrau 1: 1 rapaz e
duas moças;
Degrau 2: 1 rapaz e duas
moças.
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Degrau 1: Temos 2
rapazes e 4 mulheres para escolher.
Como são 3 pessoas, teremos as seguintes
possibilidades:
(R x M x M)
= (2 rapazes x 4 mulheres x 3 mulheres) = 24
(M x
R x M) = (4 mulheres x 2 rapazes x 3
mulheres) = 24
(M x M x R) = (4
mulheres x 3 mulheres x 2 rapazes) = 24
Total: 24 + 24 + 24 = 72 possibilidades
De maneira análoga, ocorrerá no segundo degrau, porém
com as pessoas que “sobraram” (2 mulheres e 1 rapaz). Veja:
(R x M x M) = (1 rapaz x 2
mulheres x 1 mulher) = 2
(M x
R x M) = (2 mulheres x 1 rapaz x 1 mulher) =
2
(M x M x R) = (2
mulheres x 1 mulher x 1 rapaz) = 2
Total: 2+ 2+ 2= 6 possibilidades
Solução: 72 x 6 = 432 possibilidades
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Confesso que ainda não entendi.
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Galera, vou tentar ajudar aqui.
1° Devemos entender o que a questão pede:
Seis amigos (dois rapazes e quatro moças) posam para uma foto em dois degraus de uma escadaria. Sabendo-se que há a mesma quantidade de rapazes nos dois degraus e a mesma quantidade de moças nos dois degraus, de quantas maneiras os amigos podem ser posicionados para a foto?
Assim, para haver a mesma quantidade de rapazes nos dois degraus e a mesma quantidade de moça, a única maneira possível de dividi-los é: Degrau 1 => 1 rapaz e duas moças; Degrau 2 => 1 rapaz e duas moças. A questão é, de quantas maneiras podemos dividi-los desta maneira?
2° A ordem neste caso é importante?
Sim, pois faz diferença se o rapaz está no centro, ou em um dos cantos, ou que moça está em que lado... Os elementos também não vão se repetir (o que é obvio, já que uma pessoa não pode estar em dois lugares ao mesmo tempo). Assim, esta é uma questão de Arranjo. Arranjos podem ser resolvidos pelo PFC (Princípio Fundamental da Contagem).
3° Resolução:
Degrau 1: R M M => O que faremos aqui é fixar o rapaz (R) no primeiro lugar e duas meninas (M) nos outros 2 lugares, a 3 x 2 x 4 x 3 => Temos a opção de escolher 1 entre 2 rapazes para ocupar o degrau 1, assim, duas opções no primeiro termo; os outros dois lugares na escadaria serão ocupados por 2 meninas, e temos 4 para serem selecionadas, então, teremos 4 meninas para escolher para um dos lugares, e 3 para escolher para o outro, já que uma já foi selecionada anteriormente. Como fixamos um menino no primeiro lugar, e ele pode ocupar tanto o primeiro, quanto o segundo e terceiro lugar, multiplicamos por 3.
Degrau 2: R M M => Faremos agora a mesma coisa no segundo degrau, mas já selecionamos pessoas no primeiro degrau, assim: 3 x 1 x 2 x 1 => Apenas 1 rapaz e 2 moças tinham sobrado, assim, fixamos o rapaz no primeiro lugar; o segundo lugar tinha duas opções de moças e no terceiro, ficaria a que sobrou; como fixamos o rapaz no primeiro lugar e ele pode ocupar qualquer um dos 3, multiplicamos novamente por 3.
Assim: 3 x 2 x 4 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 = 432 ALTERNATIVA: a
Espero que não tenha ficado confuso e eu tenha conseguido ajudar.
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Sabe o que complica mesmo resolver matemática no comentário? O Qconcursos ter tirado a função de postar foto. Antes eu tirava foto do caderno e postava aqui. Agora ficou uma m...
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Boa tarde,
3 (degrau 1) x 2 (rapazes) x 4 (1ª moça) x 3 (2ª moça) = 72
3 (degrau 2) x 1 (rapaz, pois o 1º já está posicionado) x 2 (3ª moça) x 1 (4ª moça) = 6
72*6 = 432
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Vá direto para a explicação de Alan Margon! Ótimo!
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Para haver a mesma quantidade de rapazes nos dois degraus e a mesma quantidade de moça, temos:
Degrau 1: 1 rapaz e duas moças;
Degrau 2: 1 rapaz e duas moças.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
Degrau 1: Inicialmente temos 2 rapazes e 4 mulheres para escolher.
(R x M x M) = (2 rapazes x 4 mulheres x 3 mulheres) = 24
(M x R x M) = (4 mulheres x 2 rapazes x 3 mulheres) = 24
(M x M x R) = (4 mulheres x 3 mulheres x 2 rapazes) = 24
Total: 3 x 24 = 72 maneiras
Usando o mesmo raciocínio para preencher o segundo degrau, com o restante das pessoas:
(R x M x M) = (1 rapaz x 2 mulheres x 1 mulher) = 2
(M x R x M) = (2 mulheres x 1 rapaz x 1 mulher) = 2
(M x M x R) = (2 mulheres x 1 mulher x 1 rapaz) = 2
Total: 3 x 2 = 6 maneiras
Assim: 72 x 6 = 432 maneiras
Resposta: Alternativa A.
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Explicação de David Rodrigues, direto ao ponto! Ótimo!
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Há a mesma quantidade de rapazes nos 2 degraus e a mesma quantidade de moças nos 2 degraus.
Daí, pode-se inferir que há 1 rapaz e 2 moças por degrau.
Rapaz 1: 6 lugares disponíveis
Rapaz 2: 3 lugares disponíveis (pois ele fica no degrau diferente no 1º rapaz)
Moça 1: 4 lugares disponíveis (os rapazes já ocuparam 2 lugares)
Moça 2: 3 lugares disponíveis (3 lugares já ocupados)
Moça 3: 2 lugares disponíveis (4 lugares já ocupados)
Moça 4: 1 lugar disponível (5 lugares já ocupados)
6 x 4 x 3 x
3 x 2 x 1 = 432
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MACETE
*Nº de possibilidades = nº de elementos ---> ex= 6 pessoas para ocupar 6 lugares possibilidades = 6!
*Nº possibilidades < que nº de elementos :
--> será combinação se a ordem for IRRELEVANTE {A,B) = {B,A} Possibilidades= nºmaior! / nº menor! (nºmaior - nºmenor)!
--> será arranjo se a ordem for RELEVANTE 12 difere de 21 . possibilidades =nºmaior! / (nºmaior - nºmenor)!
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Para haver a mesma quantidade de rapazes nos dois degraus e a mesma quantidade de moça, temos:
Degrau 1: 1 rapaz e duas moças;
Degrau 2: 1 rapaz e duas moças.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
Degrau 1: Inicialmente temos 2 rapazes e 4 mulheres para escolher.
(R x M x M) = (2 rapazes x 4 mulheres x 3 mulheres) = 24
(M x R x M) = (4 mulheres x 2 rapazes x 3 mulheres) = 24
(M x M x R) = (4 mulheres x 3 mulheres x 2 rapazes) = 24
Total: 3 x 24 = 72 maneiras
Usando o mesmo raciocínio para preencher o segundo degrau, com o restante das pessoas:
(R x M x M) = (1 rapaz x 2 mulheres x 1 mulher) = 2
(M x R x M) = (2 mulheres x 1 rapaz x 1 mulher) = 2
(M x M x R) = (2 mulheres x 1 mulher x 1 rapaz) = 2
Total: 3 x 2 = 6 maneiras
Assim: 72 x 6 = 432 maneiras
Resposta: Alternativa A.
Autor: Vinícius Werneck , Matemático, MSc. e PhD Student em Geofísica.