Questão bem tranquila para aqueles que conhecem o CPC.
Art. 337. A parte, que alegar direito municipal, estadual, estrangeiro ou consuetudinário, provar-lhe-á o teor e a vigência, se assim o determinar o juiz.
Trata-se de uma exceção ao princípio iura novit curia (o juiz conhece o direito). O juiz não tem a obrigação de conhecer as especifidades da lei de toda cidadezinha do Brasil e do exterior. Assim, caso a parte alegue direito baseada em lei municipal, estadual, estrangeira ou mesmo direitos decorrentes dos costumes (consuetudinário), cabe-lhe provar "o teor e a vigência".
As outras alternativas são bem toscas, recheando de "não" e "apenas" dispositivos do mesmo capítulo (DAS PROVAS) do Código.
Art. 332 - Todos os meios legais, bem como os moralmente legítimos, ainda que não especificados neste Código, são hábeis para provar a verdade dos fatos, em que se funda a ação ou a defesa.
Art. 333, Parágrafo único - É nula a convenção que distribui de maneira diversa o ônus da prova quando:
I - recair sobre direito indisponível da parte;
II - tornar excessivamente difícil a uma parte o exercício do direito.
Art. 334 - Não dependem de prova os fatos: (...)
IV - em cujo favor milita presunção legal de existência ou de veracidade.
Art. 336 - Salvo disposição especial em contrário, as provas devem ser produzidas em audiência.
Parágrafo único - Quando a parte, ou a testemunha, por enfermidade, ou por outro motivo relevante, estiver impossibilitada de comparecer à audiência, mas não de prestar depoimento, o juiz designará, conforme as circunstâncias, dia, hora e lugar para inquiri-la.