f(t) = t^3 -14t +53t - 40
divisores de - 40, p = (+-1, +-2, +-4, +-5, +-8, +-10, +-20)
divisores de 1, q = (+-1)
possíveis raizes p/q = (+-1, +-2, +-4, +-5, +-8, +-10, +-20) Testando o +1, nota-se que é uma das raizes.
Descobrindo as outras raizes por briot ruffini;
t^3 | 1 -14 53 | -40 equação reduzida à segunda ordem: t^2 - 13t + 40 = 0
1 | 1 -13 | +40 por bascara as raizes são x1 = 5 ; x2= 8
| 1 -13 +40 | 0 colocando em termos faorados ( x-1 )( x-5 )( x-8 ) = 0
analisando : quando x = 6; x = 7 , os valores serão negativos, logo não havera lucro.
quando x = 1; x = 5; x =8 os valores serão nulos, logo não haverá lucro.
logo só haverá lucro nos anos 2, 3, 4, 9 e 10 gabarito letra b.
É possível resolver essa questão encontrando f(1), f(2), ..., f(10). Isso se não conseguir encontrar outro método mais rápido.
Mas, para fins de estudo, melhor é encontrar uma forma mais lógica.
Uma forma seria decompor o polinômio em três polinômios de grau 1. Primeiro acha-se qualquer uma das 3 raízes e em seguida faz-se a divisão de polinômios. No final das contas o polinômio será assim fatorado: (t-1)(t-5)(t-8).
Agora é necessário conhecer o comportamento de uma função de terceiro grau para fazer o estudo de sinais. Pela decomposição, vê-se que as raízes são 1, 5 e 8. Logo, os valores que estão entre 1 e 5 são positivos(2, 3 e 4); Os valores entre 5 e 8 são negativos(6 e 7) e os valores acima de 8 são positivos(9 e 10).
Como a questão pede os anos sem prejuízo e descarta os anos de lucro zero(as raízes da funçao) então temos que a solução seria:
t={2,3,4,9,10}. Totalizando 5 anos.
Gabarito: B