Para encontrar um padrão com lógica, testemos com números menores, como: 10^3 e 10^4.
Fatoramos e obtemos:
10^3 = 2^3 * 5^3
quantidade_divisores(10^3) = (3+1) * (3+1) = 16 = 4^2 => (3+1)^2
10^4 = 2^4 * 5^4
quantidade_divisores(10^4) = (4+1) * (4+1) = 25 = 5^2 => (4+1)^2
Temos os divisores de:
10^3={1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 40, 25, 50, 100, 200, 125, 250, 500, 1000}
10^4={1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80, 25, 50, 100, 200, 400, 125, 250, 500, 1000, 2000, 625, 1250, 2500, 5000, 10000}
Como queremos encontrar, dentre os divisores de 10^2015 os que são múltiplos de
10^2000, simplificadamente analisaremos com relação aos divisores de 10^4 que são múltiplos de 10^3:
{1000, 2000, 5000, 10000} => Total de 4 elementos, ou seja, 2^2
Em relação aos divisores de 10^4 que são múltiplos de 10^2:
{100, 200, 400, 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 10000} => Total de 9 elementos, ou seja, 3^2
Em relação aos divisores de 10^4 que são múltiplos de 10^1:
{10, 20, 40, 80, 50, 100, 200, 400, 250, 500, 1000, 2000, 1250, 2500, 5000, 10000} => Total de 16 elementos, ou seja, 4^2
Da mesma maneira que encontramos a quantidade_divisores acima, os elementos em relação aos divisores de:
10^4 que são múltiplos de 10^3 => [(4-3)+1] ^2 = 2^2 = 4
10^4 que são múltiplos de 10^2 => [(4-2)+1] ^2 = 3^2 = 9
10^4 que são múltiplos de 10^1 => [(4-1)+1] ^2 = 4^2 = 16
Observamos que a quantidade de elementos desses conjuntos compõem uma sequência, onde os elementos dessa são dados por:
An = n^2
Em alusão a 10^2015 e
10^2000, termos:
[(2015 - 2000) +1] ^2 = 16^2 = 256 (Alternativa D)
Consultas
Quantidade de divisores de X: https://www.youtube.com/watch?v=q8YdGfj838Y
Encontrar todos os divisores de X: https://www.youtube.com/watch?v=rdaCtcN_J-0