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GABARITO D
C10,1 = 10 possibilidades
C9,1 = 9 possibilidades
C8,3 = 8!/5! 3!
C8,3 = 8x7x6x5!/5! 3!
C8,3 = 336/6
C8,3 = 56 possibilidades
TOTAL = 10 x 9 x 56 = 5040 possibilidades
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Não consigo entender, poderiam explicar melhor?
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Carlos Jesus eu fui pela tentativa começando com o número 8 (letra C), pois se desse mais seria (d) ou (e) caso contrário seria as demais (a) ou (b). Como deu um número menor que 5040, então tentei com 10 (letra D)!
Para escolher o presidente eu terei 10 possibilidades para um cargo (o de presidente), portanto deverá fazer uma combinação de 10 para um cargo, aqui nem é necessário fazer o cálculo pois terei 10 possibilidades para escolher o presidente.
Para escolher o vice presidente eu terei agora apenas 9 possibilidades pois o presidente já foi escolhido e portanto não poderei escolher ele, com isso terei 9 possibilidades de escolher esse vice presidente.
Para escolher os três secretários eu terei 8 pessoas para três cargos, portanto eu deverei fazer a combinação de 8 para três cargos: C8,3 que me dará 56 possibilidades. Para saber o total de possibilidades basta agora multiplicar: 10 x 9 x 56 = 5040 possibilidades como diz o enunciado, com isso concluímos que o número de pessoas é 10 (GABARITO D)
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Vamos lá galera,
1) É combinação ou arranjo?
Basta entender o meu exemplo:
Imagine uma comissão formada assim: A - presidente; B - vice; C,D,E - Secretários. Portanto, temos uma comissão formada por A,B,C,D e E. Ao invertermos a ordem para E,D,C,B, e A, temos a mesma comissão? Sim. Logo, a ordem NÃO importa e estamos diante de uma combinação.
2) Como fazer?
A melhor maneira é através mesmo das opções de resposta, por tentativa e erro, pois o total de possibilidades que é 5.040, já temos.
3) Solução --- [Vamos verificar se são 10 pessoas, logo partiremos do 10.]
C 10,1 x C 9,1 x C 8,3
As duas primeiras nem precisam ser calculadas, pois em se tratando de combinação, sempre que o valor de p for 1, o resultado é n. Logo, temos 10 . 9 . C 8,3
C 8,3 = 8!/3! 5!
C8,3 = 8x7x6x5!/5! 3! --- Corta o 5! com o 5!
C 8,3 = 8 x 7 x 6 / 3! --- Corta o 6 com o 3!, pois 3! = 3 .2.1
C8,3 = 8 x 7 = 56
Logo, o gabarito é letra D, pois 10 . 9 . 56 = 5040
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São 3 eventos distintos, a eleição do presidente onde você tem P possíveis, a eleição do Vice-presidente onde são P-1 possíveis, e a eleição dos 3 secretários daí tem que fazer separado estes três, bom para o primeiro secretário seria P-2, o segundo secretário P-3 e o terceiro secretário P-4, ainda nos secretários são 3 certo, então eles tem que ser escolhidos nesta ordem o primeiro e depois o segundo e o terceiro no final, conectivo e multiplica, assim (P-2)*(P-3)*(P-4), neste caso tem que excluir as repetições pois são 3 secretários com a mesma função, divide por 3! (3*2*1), monte a equação com todos juntos o presidente, o vice-presidente e os secretários, assim,
P*(P-1)*(P-2)*(P-3)*(P-4)/(3*2*1), agora substitua por cada resultado o que der 5040 é o correto.
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Por que é combinação e não arranjo?
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Pessoal, é possível fazer por arranjo também.
A 10,2 * C 8,3
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Não entendi a questão de primeira, mas da pra fazer testando as alternativas SEM FÓRMULAS!
Sabe-se que em grupos, a ordem é irrelevante, então deve se dividir (pois um grupo ABC é igual ao grupo BCA). Para os denominadores (para 5 possíveis escolhas), teremos 1 possibilidade para Presidente; 1 para vice; e 3 para secretários.
Com 10 pessoas fica assim:
10.9.8.7.6 (numeradores - pessoas)
1.1.3.2.1 (denominadores -cargos)
resolvendo sobrará 10.9.4.7.2= 5040
É por isso que gosto do prof Josimar Padilha! Ele não perde tempo com fórmula. Ele ensina a pensar em vez de decorar essas porcarias de que confundem a cabeça do candidato na hora da prova, sem contar que dá pra resolver de forma bem mais rápida, sem perder tempo!
Gab: D
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10.9.(presidente, vice presidente, arranjo) sobram 8 pessoas p os 3 secretários: 8.7.6( combinação, divide por 3! que é igual a 6. total 5040 . Fui por eliminação das opções.
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Não entendi está parte C8,3=8!/5!3! Não entendi porque do 5!
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Fiz pelo método de tentativa, busquei nas alternativas: v. s. s. s = 5040, são 10 possibilidades p/ o primeiro(vice), depois 9 p/ o segundo (secretário), 8 p/ o terceiro (secretário), e 7 p/ o quarto( secretário), ou seja, multiplica 10.9.8.7 = 5040.
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Utilizando o principio fundamental da contagem. pfc: (1º escolhe a alternativa do meio letra c e vai aumentado ou diminuindo)
_ x_x _x _x _ (serão 5 escolhas)
3!(quantidade de vezes que um dos elementos se repete. 3 secretarias)
Entao vai chegar em: 10x9x8x7x6 =5040 agrupamentos possíveis.
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Ainda não entendi :(
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Pelo enunciado, vemos que não nos interessa a ordem de escolhas dentro deste grupo P, logo, podemos aplicar uma combinação simples. Uma vez já sabendo o total de possibilidades, a maneira mais rápida de se fazer esta questão seria testando as alternativas.
Uma vez testando desde e letra a), o candidato veria que a única alternativa que se encaixa, seria para P = 10, pois:
i) C10,1 = 10 possibilidades
ii) C9,1 = 9 possibilidades
iii) C8,3 = 8!/5! 3!
C8,3 = 8x7x6x5!/5! 3!
C8,3 = 336/6
C8,3 = 56 possibilidades
Logo: 10 x 9 x 56 = 5040 possibilidades
Alternativa D.
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Muito boa a estratégia do Einstein! Parabéns!
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È só combinação! nada de arranjo, a melhor resposta é a do Julio, obrigada Julio, excelente!
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Não consigo entender como a ordem não influencia nesse caso.
Escolher A e B para presidente e vice, respectivamente, é diferente de escolher B e A..
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Acho que agora entendi.
Para escolher presidente e vice, usamos o arranjo, pois a ordem influencia.
10 * 9 = 90 formas de escolher presidente e vice.
No caso dos 3 secretários, a ordem não influencia, portanto utilizamos a combinação com os 8 que sobraram.
C 8,3 = 56 formas de escolher os 3 secretários.
90 * 56 = 5040
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Vejam o vídeo que gravei com a resolução desta questão:
https://youtu.be/1_Ez7D7WMB0
Professor Ivan Chagas
www.gurudamatematica.com.br
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Gente, ainda não compreendi por que a escolha dos secretários não pode ser feita assim:
8 pessoas para 3 vagas: 8 x 7 x 6
Alguém pode me explicar?
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Izabela, não pode ser feito do modo que você pensou porque se trata de uma combinação e não de uma permutação, ou seja, as posições não são importantes para formar o grupo, tanto faz se o grupo foi escolhido na ordem A B C ou não ordem B C A....
Espero que tenha compreendido ^^
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Uma questão onde você só consegue resolver por tentativa e erro é brincadeira...isso não existe.
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A resolução da Marjory Baxter foi FANTÁSTICA!!!
olha só: vamos por eliminação, começando pela alternativa C pra ver se vai dar mais ou menos, ou seja, 8 pessoas no grupo, vamos lá.
8 . 7 . 6 . 5 . 4 (numeradores - permutação simples qtd de pessoas para preencher 5 cargos vagos)
1 . 1 .3 . 2 . 1 (denominadores - qtd de cargos a serem preenchidos)
Por tanto: (8x7x6x5x4) / (1x1x3x2x1) = 1.120 (Ainda não é a resposta!!!)
Vamos para a correta agora usando a letra D, ou seja, 10 pessoas no grupo!
10 . 9 . 8 . 7 . 6 (numeradores - permutação simples qtd de pessoas para preencher 5 cargos vagos)
1 . 1 . 3 . 2 . 1 (denominadores - qtd de cargos a serem preenchidos
Por tanto: (10x9x8x7x6) / (1x1x3x2x1) = 30.240 / 6 = 5.040 (CORRETO, letra D !!!)
Parabéns Marjory!!! :-)
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Simples porém difícil de se raciocinar... rs Tentativa e erro, chutando 10 pessoas para P, fazendo arranjo antres os dois primeiros pois a ordem é importante e combinação entre os 3 últimos, todos do mesmo cargo, a ordem não importa....
P x VP x S x S x S = 10.9.( combinação de 8 e 3)= 10x9x((8x7x6/3x2x1))= 5040
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Eleição do presidente: P possibilidades
Eleição do Vice-presidente: P – 1 possibilidades
Eleição dos 3 secretários:
1º secretário: P – 2 possibilidades
2º secretário: P – 3 possibilidades
3º secretário: P – 4 possibilidades
Neste caso temos: (P-2)*(P-3)*(P-4).
Monte a equação com todos juntos o presidente, o vice-presidente e os secretários, assim: P*(P-1)*(P-2)*(P-3)*(P-4)/(3*2*1).
Substitua o ‘P’ pelo valor de cada alternativa.
Até encontrar o valor de 5.040 substituindo o ‘P’ por 10.
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Arranjo para presidente e vice-presidente (a ordem importa). Combinação para os secretários (a ordem não importa).
P x (P - 1) x (P - 2) x (P - 3) x (P - 4) = 5040
3 2 1
P x (P - 1) x (P - 2) x (P - 3) x (P - 4) = 5040
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Agora é só testar valores para P a partir das opções. O resultado será 10.
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É só aplicar a fórmula de combinação!! e substituir...
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C10,1 x C9,1 x C8,3 = 5040
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Rodrigo Araújo exatamente!! EU procurando uma fórmula milagrosa pra resolver, mas parece que não existe. Sacanagem é pouco
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Fiz testando as alternativas
Os dois primeiros cargos a ordem importará, então presidente e vice faça com arranjo
A10,2 = 90
Os 3 últimos cargos a ordem não importará, então combinação:
C8,3 = 56 (obs: pq 8? pq dos 10, dois já foram escolhidos como presidente e vice, logo 10-2 = 8 para as últimas 3 vagas)
90 x 56 = 5040