Questão 1773847

• Banca: Aeronáutica
• Órgão: ITA
• Ano: 2015
• Provas: Aeronáutica - 2015 - ITA - Aluno - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Funções; Logaritmos

Seja (a1, a2, a3,...) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1000 e an = log10(1 + an-1) para n > 2. Considere as afirmações a seguir: 

I. A sequência (an) é decrescente.

II. an > 0 para todo n > 1.

III. an < 1 para todo n > 3.

É (são) verdadeira(s)

• A. apenas I.
• B. apenas I e II.
• C. apenas II e III.
• D. I, II e III.
• E. apenas III.

Gabarito: D

Comentários

• Temos:

  a₁ = 1000

  aₙ = log₁₀(1 + aₙ₋₁) sendo n≥2

  Resolução!!

  a₂ = log₁₀(1 + a₂₋₁) ⇒ a₂ = log₁₀(1 + a₁) ⇒ a₂ = log₁₀(1001) ⇒ a₂ = log₁₀(1001) ⇒ a₂ ≈ 3

  a₃ = log₁₀(1 + a₃₋₁) ⇒ a₃ = log₁₀(1 + a₂) ⇒ a₃ = log₁₀(1+3) ⇒ a₃ = log₁₀(4) ⇒ a₃ ≈ 0,6

  a₄ = log₁₀(1 + a₄₋₁) ⇒ a₄ = log₁₀(1 + a₃) ⇒ a₄ = log₁₀(1+0,6) ⇒ a₄ = log₁₀(1,6) ⇒ a₄ ≈ 0,2

  I. A sequência (an) é decrescente.  V

  II. an > 0 para todo n > 1. V

  III. an < 1 para todo n > 3. V

  Letra D de Jeans