O coeficiente de correlação ρX, Y entre duas variáveis aleatórias X e Y com valores esperados μX e μY e desvios padrão σX e σY é definida como:
![]()
cov(X,Y) / σX σY então E((X -μX) x (Y - μY) / σX σY
onde E é o operador valor esperado e cov significa covariância. Como μX = E(X), σX² = E(X²) − E²(X) e , do mesmo modo para Y, podemos escrever também
E(XY) - E(X)x(EY) / [√(E(X2)xE2(X)) x √(E(Y2)xE2(Y))]
Logo, temos o seguinte:(1500 - 40x30) / [√(1300 - 30^2) x √(2500 - 40^2)] = 300 / [√400 x √900) = 300 / ( 20 x 30) = 1/2
A questão exigiu a fórmula alternativa da variância, média dos quadrados subtraído do quadrado da média.
Fórmula do coeficiente de correlação linear: cov(x,y) / Sx * Sy.
Passo a passo: Encontrar a covariância, desvio de x e desvio de y, e por fim montar a fórmula.
1° Covariância de (X,Y):
cov(x,y) = E(XY) - E(X) * E(Y)
cov(x,y) = 1500 - 30 * 40
cov(x,y) = 1500 - 1200
cov(x,y) = 300
2° Desvio padrão de X: Utilizando a fórmula alternativa da variância.
var² (x) = E(xi²) - X² (média de X ao quadrado).
var² (x) = 1300 - 900
var² (x) = 400
Sx = O desvio padrão é a raiz quadrada da variância = 20.
3° Desvio padrão de Y: Utilizando a fórmula alternativa da variância.
var² (y) = E(yi²) - Y² (média de Y ao quadrado).
var² (y) = 2500 - 1600
var² (y) = 900
Sy: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância = 30.
4° Montar a fórmula do coeficiente de correlação:
r = cov(x,y) / Sx * Sy
r = 300 / 20 * 30 (corta corta)
r = 3 / 2 * 3
r = 3 / 6 = 1/2
O caminho é difícil. Então, tenha fé, força e perseverança e não pare de lutar enquanto não ganhar a batalha. Vamos conseguir!