Olá pessoal se lembrarmos da definição dos números naturais vamos ver que é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, ...). Nessa questão o zero é considerado, pois se não o exercício deveria definir o símbolo N*, ou seja, excluindo o zero. Voltando ao exercício temos:
x + y + z = 8
temos que escolher três números para que o total seja 8! Então vamos lá o conjunto dos números naturais são: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,....}. Se prestarmos atenção quanto aos valores do conjunto dos números naturais veremos que o 0,1,2,3,4,5,6 podem ser usados na soma da equação dada, mesmo que se repita os valores, para dar o total 8! Já os números 7,8,9,10... do conjunto dos números não podem ser usados, pois estrapolariam a equação dada.
Portanto os números a serem usados são o {0,1,2,3,4,5,6}
temos 7 números que podem ser usados e três opções para a escolha, como não importa a ordem, então caímos na análise combinatória, mais especificamente na parte de COMBINAÇÃO!
Então vamos lá:
1) vamos calcular a C(7,3) possibilidades que é o total!
C(7,3) = 7! / 3!.(7-3!) = 7! / 3! . 4! = 7.6.5.4! / 3.2.1 . 4! cortando o 4! teremos 210 / 6 = 35 possibilidades!
2) agora devemos nos atentar ao fato de que no conjunto {0,1,2,3,4,5,6} o número 4 não pode somar com o 5 e 6. Já o número 5 não pode somar com 4,5,6. E por fim o número 6 não pode somar com 3,4,5,6. Porque se somarmos a soma total na equação passará do número 8! ;D Então agora devemos calcular as combinações de cada um e subtrair das possibilidades totais. Vamos lá:
a) combinações do número 4: excluimos os números 5 e 6 restaram 0,1,2,3,4 (5 possíveis números) então a combinação é de C (5,3)
C (5,3) = 5.4.3 / 3.2.1 = 60/6 = 10 possibilidades.
b) combinações do número 5: excluimos os números 4,5,6 e restaram o 0,1,2,3 (4 possíveis números) então a combinação é de C (4,3)
C(4,3) = 4 possibilidades
c) combinações do número 5: excluimos os números 3,4,5,6 e restaram o 0,1,2 (3 possíveis números) então a combinação é de C(3,3)
C(3,3) = 0
Agora pra achar o número total de elementos é só subtrair das combinações achadas:
C(7,3) - C(5,3) - C(4,3) - C(3,3)
35 - 10 - 4 - 0 = 21 possibilidades!
Espero ter ajudado!
;D
Galera, eu descobri a forma da questão, fundamentada no livro: Raciocínio Lógico Facilitado, do Autor Bruno Villar, pg 377:
1- Vamos lá: A regra da Combinação com repetição consiste em: "Utiliza-se a fórmula da combinação com repetição para encontrar a quantidade de soluções INTEIRAS NÃO NEGATIVAS da equação não linear a X1 + X2... = P".
2- Ou seja, os números inteiros não negativos são os positivos incluindo o ZERO.
3- Qual o macete para a fórmula, quando a questão deixa claro que só aceita números positivos?? por exemplo, quando a questão exclui o "zero 0"?? RESPOSTA: "Uma forma de encontrar apenas soluções positivas é acrescentar +1 a cada variável" pág 378.. Pronto, sabendo disso, vamos a questão:
X+Y+Z =8 ---> adicionando +1 a cada variável: X+1 + Y+1 + Z+1 = 8 ---> ficando X+Y+Z + 3 = 8 depois: X+Y+Z= 8-3
então teremos: X+Y+Z = 5
Agora, faremos a Combinação com repetição: CR3,5 ----> CR 3+5-1, 5 ----> C7,5 ---> C7,2
7x6 / 2 = 21 ----------> Gabarito E: 21
Macete: se na combinação com repetição pedir soluções inteiras positivas -ou seja, excluindo o zero-, deve-se adicionar +1 aos elementos -pois assim, teremos a certeza que nunca terá um elemento de valor "ZERO" ou se a questão for de "objetos" não aceitará que um dos elementos fique "VAZIO", para depois fazer a combinação com repetição.