Questão 1857682

• Banca: Exército
• Órgão: EsPCEx
• Ano: 2014
• Provas: Exército - 2014 - EsPCEx - Cadete do Exército - 2° Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações; Funções

Considere a função bijetora f: [1,+ ∞ ) → (- ∞, 3], definida por f(x) = -x² + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a + b é

• A. 2.
• B. 4.
• C. 6.
• D. 8.
• E. 10.

Gabarito: B

Comentários

• f(x) = -x² + 2x + 2 
  
  SUA INVERSA:

  y = -x² + 2x + 2
  x = -y² + 2y + 2
  x = -y² + 2y -1 + 3
  x - 3 = -y² + 2y -1  (MULTIPLICA POR -1)
  3 - x = y² -2y + 1
  3 - x = (y - 1)²
  √3-x = y - 1 
  y = √3-x + 1 

  f(x) = f(x)^-1
  -x² + 2x + 2 = √3-x + 1
  -x² + 2x + 1 = √3-x
  (-x² + 2x + 1)² = (√3-x)²
  FATORANDO:
  (x-2)(x³ - 2x² - 2x + 1)
  
  - ÚNICA RAIZ REAL  → x = 2, a = 2
  
  y = -x² + 2x + 2
  y = -(2)² + 2.2 + 2
  y = -4 + 4 + 2
  y = 2, b = 2
  
  |a+b| = |2+2| = 4

• A função inversa é sempre simétrica a sua original em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

  Logo, a = b.

  Link da representação disso no plano cartesiano: https://uploaddeimagens.com.br/imagens/img_20190912_161129-jpg

  Vamos encontrar o valor de "a":

  f(a) = -a² + 2a + 2

  -a² + 2a + 2 = a

  -a² + a + 2 = 0 (-1)

  a² - a - 2 = 0

  a' = 2 e a'' = -1

  Descartamos o a'' porque no 1° quadrante não temos valores reais negativos.

  a = b = 2

  a + b = 2 + 2 = 4

  GABARITO: LETRA B

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