Sabemos que:
P pertence à reta t implica que:
y - y0 = m (x - x0)
Onde
x0 =1
e
y0 =1
Assim temos:
y - 1= m(x - 1)
Assim
y = mx - m + 1
Montando o sistema
y = mx - m + 1 (Equação 1)
x² +2y² = 3 (Equação 2)
Pelo método da substituição substituindo o valor de y da equação 2 por mx - m + 1 conforme a Equação 1 temos:
x² + 2(mx - m + 1)² = 3
Quadrado da “soma” entre três termos
(a - b + c)² = (a - b + c) * (a - b + c) = a² - ab + ac - ab + b² - bc + ac - bc + c² =
a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc
No nosso caso:
a=mx
b=m
c = 1
Dessa forma Temos:
x² + 2 (m²x² + m² + 1² - 2mxm + 2mx – 2m) = 3
x² + 2 (m²x² + m² + 1² - 2m²x + 2mx – 2m) = 3
x² + 2 m²x² + 2m² + 2 - 4m²x + 4mx – 4m - 3 = 0
x² + 2 m²x² - 4m²x + 4mx + 2m² – 4m - 1 = 0
(x-1) (2m²x – 2m² + 4m + x + 1) =0
Quando temos um produto igual à zero quer dizer que, pelo menos, um desses fatores, obrigatoriamente, tem que ser zero.
1)(x-1) = 0 == > x =1
(2m²x – 2m² + 4m + 2) =0 == > 2m²x – 2m² + 4m = - 2 == > 2m² – 2m² + 4m = - 2 (÷2) == > + 4m = - 2
e/ou
(2m²x - 2m² + 4m + x + 1) = 0
(2m² + 1)x = 2m² - 4m – 1
x= (2m² - 4m – 1)/( 2m² + 1) completando o quadrado
x= [2(m² - 1) – 3]/( 2m² + 1)
x = 2m²/ (2m² +1) – 5/( 2m² + 1)
m = ±1 com x= -1
e
m =0 com x = -5
Resposta: m=0
Assertiva C
Para não ter necessidades de calculos , temos que qualquer ponto variando dele até ele mesmo a área é zero.
x^2 + 2y^2 = 3
Isolando y na função acima:
2y^2 = 3 - x^2
y^2 = (3 - x^2) / 2
y = [(3 - x^2) / 2] ^ (1/2)
Derivando a função para y :
y' = (1/2) * [(3 - x^2) / 2] ^ (-1/2) * (-x)
Avaliando a derivada no ponto dado ( x = 1) :
y' = (1/2) * [(3 - 1^2) / 2] ^ (-1/2) * (-1)
[[ y' = -1/2 ]]