Essa é difícil de interpretar de primeira!
Basicamente é uma pergunta na área de equações diferenciais, mas você só vai resolver derivadas simples.
A primeira "sacada" é entender que como Phi(t) é uma solução periódica, x(t),y(t),z(t) e w(t) devem ser funções periódicas, e o difícil (pelo menos pra mim) é enxergar que estas funções podem ser algo parecido com sen(t) e cos(t)
Beleza, depois disso é deduzir quais são as funções x(t),y(t),z(t) e w(t) a partir do sistema de equações dado e também da condição inicial.
Pela condição inicial, sabemos que para x(t) e y(t):
x(0) = 1 e y(0) = 0
x'=y e y'=-x -> x=-y' e y=x'
Como cos0=1 e sen0=0 podemos deduzir então que x(t)=cos(t) e y(t)=-sen(t)
Pela condição inicial, sabemos que para z(t) e w(t):
z(0) = 0 e w(0) = 1
z'=w e w'=-k^2z -> z=-w'/(k^2) e w=z'
Agora vem mais uma maldade dessa pergunta pra te tirar tempo:
Como cos0=1, podemos deduzir que w(t) é uma função cosseno, você pode deduzir que:
w(t)=cos(k^2 t) e z(t)=sen(k^2 t)
OU
w(t)=cos(k t) e z(t)=sen(k t)/k
Mas cuidado, para que w=z' seja satisfeita apenas a segunda opção é verdadeira.
Agora vem mais uma análise pra finalmente chegar na resposta. Para uma função f(x) ser periódica com um período T por exemplo, f(x) tem que ser igual a f(x+nT), com n sendo qualquer inteiro.
No problema, x(t) e y(t) são seno e cosseno com período m*2pi, enquanto que z(t) e w(t) são funções com período n*2pi/k. Aqui, o n é uma variável diferente de m pois mais na frente vamos considerar que o argumento das duas é diferente. Para que x,y,z e w sejam periódicas com o mesmo período, n*2pi/k deve ser igual a n*2pi, logo:
n*2pi/k=m*2pi
k=(n/m).
Analisando as respostas:
a)k é um número racional
b)k não pode ser zero pois está no denominador de z(t)
c)k pode ser negativo
d)a resposta correta :D
e)k é um número racional