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alguem ?
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Se r(t) = e^(-t). então a função da velocidade é v(t)= -e^(-t).
A energia cinética tem a fórmula: Ec = mv²/2, portanto.
A energia cinética para t = 0 é: m[v(0)]²/2
A energia cinética no instante zero vale m/2. Para a energia cinética em outro instante valer a metade da inicial, é necessário que seja m/4.
Agora basta resolver m/4 = [m*e^(-2t)]/2
Multiplicando ambos os lados por 2/m, ficaremos com 1/2 = e^(-2t)
É o mesmo que dizer que e^(2t) = 2
Aplicando a raiz quadrada a ambos os termos. chegaremos a conclusão de que t = ln(raiz2).
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A função velocidade, v(t), é a derivada da posição, r(t). Assim derivando a posição encontramos a função velocidade, como segue:
dr/dt = e^(-t)*(d(-t)/dt) => dr/dt = e^(-t)*(-1) => dr/dt = -(e^(-t))
Depois de ter encontrado a velocidade, pode-se encontrar a energia cinética que é o foco do exercício. Logo, energia cinética em t>0 tem que ser a metade que em t=0.
Temos então:
((m*Vi^2)/2) = (((m*Vf^2)/2)*(1/2))
sendo Vi a velocidade inicial e Vf a final. Cortando m pois está presente em ambos os lados se terá:
((Vi^2)/2) = ((Vf^2)/4) => (((-e^(-ti))^2)/2) = (((-e^(-tf))^2)/4), para ti=0 e tf=T, sendo T o instante que o exercício requisita. Então,
(((-e^(-0))^2)/2) = (((-e^(-T))^2)/4) => (1/2) = (((-e^(-T))^2)/4) => 2 = ((-e^(-T))^2)
Aqui é um ponto um pouco nebuloso no qual o exercício, durante a prova, pode causar alguma confusão. Contudo, cabe lembra que,
(-a^(n)) = a^(n), se n for par e depois aplica-se
(a^b)^c = a^(bc)
Por fim, tem-se a equação final
(e^2t) = 2
Aplicando a raiz em ambos os lados (isso só se justifica para chegar ao valor que o exercício pede).
sqrt(e^2t) = sqrt(2) => e^t = sqrt(2)
Finalmente, aplica-se a propriedade do ln para extrair o exp. Tem-se então,
ln(e^t) = ln(sqrt(2)) => t = ln(sqrt(2)). Letra D!
Sobrevivemos e seguimos!
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Ricardo Senandes você só fez confusão. Essa equação ((m*Vi^2)/2) = (((m*Vf^2)/2)*(1/2)) que você montou não faz sentido, pois o certo é primeiro pegar a energia cinética em t=0 e depois igualar a fórmula da energia cinética em t=T com a metade do que encontrou na primeira equação como foi apresentado pelo Wilson Jose Junior. E não se pode usar a identidade (-a^(n)) = a^(n) neste problema da forma que você usou pois o tempo não é inteiro.
Uma dica adicional pra chegar no raiz de dois na resposta, é que no final chega em e^(-2T)=1/2; depois que se tira o ln dos dois lados fica: 2T=ln(2). Pra chegar na solução com a raiz, basta multiplicar os dois lados por 1/2, na esquerda fica T e na direita fica (1/2)ln(2), que pela propriedade do expoente ele pode ir para o argumento do ln e ficar raiz de dois no final
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Por que não se considera teta(t) ao calcular a velocidade? Apenas derivamos r(t) e ignoramos o teta?
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A velocidade em coordenadas polares é dada por v = r' na direção r e rθ' na direção θ.
A energia cinética é EC = 0,5 m (r' ²+r² θ' ²); ou a soma dos quadrados de cada termo.
Nesse caso, EC = 1/2 m (e^-2t + e^-2t) já que θ' = 1; EC = m e^-2t. Se desenvolver por aí, T = 1/2 ln2, e essa alternativa não existe.
Os amigos nos comentários desenvolveram derivando apenas R(t) pra achar a velocidade, como se EC = 1/2 m r'², mas isso não tá certo. Só que encontram a alternativa certa partindo daí. Realmente muito confusa essa questão
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Nessa questão, primeira coisa que temos que fazer é derivar a função de r(t) para acharmos a velocidade:
r(t)= e^-t
v(t)= -e^-t
Aplicando a condição v(0)= -1
Agora que achamos a velocidade, vamos usar a conservação da energia:
Emec0= Emec1
m*vt^2/2= m*v0^2 /4 (cortando a massa)
4vt^2= 2vo^2
v0^2/vt^2= 4/2
v0/vt= √2
vt= v0/√2 = -1/√2
v0/vt= √2 = -e^-t= -1/√2
Aplicando a propriedade de ln, temos que:
ln e ^-t= ln 2^-1/2
-t*1= -1/2 ln2
t= 1/2 ln2 = ln(√2)
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Aplicando o Mov. Circular: v(t)=w(t)r(t) ; onde V é a velocidade linear, w é a velocidade angular e r é o raio da trajetória.
- v(t)=(dθ/dt)r(t) => v(t)=1.e^-t (I)
Aplicamos para t=0 => v(0)=1
O problema diz que: Ect = (Ect0)/2
- (mvt²)/2 = (mv0²)/2 => v(t) = 1/√2 (II)
Subst. (I) em (II):
1/√2 = e^-t ; aplica ln de ambos os lados
*Lembre que: i) log da divisão é o log da subtração; ii) ln1=0; iii) Regra do Peteleco; iv) ln(e) =1
ln1 - ln√2 = -t
Com o efeito,
t = ln√2