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Alguem conseguiu resolver?
Se sim, por favor postem !!
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Usando a equação característica para essa equação diferencial fica:
u^2+u-2=0 (só precisa resolver a parte da equação homogênea), soluções : u1=1 e u2=-2
Logo a solução fica, y(t)=C1*exp^(u1*t)+C2*exp^(u2*t)
Solução da equação f(t) = F1*exp^(t)+F2*exp^(-2*t) e f'(t) = F1*exp^(t)-2*F2*exp^(-2*t)
Solução da equação g(t) = G1*exp^(t)+G2*exp^(-2*t) e g'(t) = G1*exp^(t)-2*G2*exp^(-2*t)
Sabendo que f(0)=g(0) e f'(0)=g'(0)+3
F1+F2 = G1+G2 ==> F1-G1 = G2-F2 (1)
F1-2*F2 = G1-2*G2 + 3 ==> F1-G1 = 2*(F2-G2)+3 (2)
Combinando (1) e (2),
G2-F2 = 2*(F2-G2)+3 ==> 3*G2-3*F2 = 3 ==> G2-F2 = 1 ou F2-G2 = -1 (3)
Resolvendo f (ln (2)) -g(ln (2)) fica: (bom saber que exp^(ln x) = x)
F1*2+F2*(1/4)-G1*2-G2*(1/4) = 2*(F1-G1)+(1/4)*(F2-G2), usando (1) e (3)
2*(G2-F2)+(1/4)*(F2-G2) = 2*1+(1/4)*(-1) = 2-(1/4) ===> (7/4) letra c.
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Luiz, sua solução faria sentido se a equação fosse y"+y'-2y=0, mas no caso é igual a h(x). Incrivelmente deu certo. Ou tem algum pulo do gato aí que eu não peguei ou foi sorte. kkkkkk Consegue me explicar por que você fez isso?
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Complementando a resposta do Luiz...
A solução de uma EDO do 2º grau não homogênea do tipo
Eq1: a*y''+b*y'+c*y = h(x),
com h(x) diferente de zero, é dada por
Eq2: y = y_p + y_c,
sendo y_p dependente de h(x) e y_c a solução homogênea de Eq1, ou seja, com h(x) = 0. Como a EDO é do 2º grau,
Eq3: y_c = y_1 + y_2
Já que nesse problema não é informado h(x), assume-se que f(x) e g(x), soluções de Eq1, são y_1 e y_2. A partir disso, pode-se encontrar as soluções homogêneas y_1 e y_2 transformando a Eq1 em um polinômio do 2º grau e encontrando suas raízes, como
Eq4: r^2 + r - 2 = 0 = (r-1)*(r+2)
Então, f(x) = c_1*exp(x) e g(x) = c_2*exp(-2*x). Usando as condições iniciais, conclui-se que c_1 = c_2 = 1. Em seguida é só resolver a diferença pedida no final do problema...
Eq5: f(ln(2)) - g(ln(2)) = exp(ln(2)) - exp(-2*ln(2)) = 2 - exp(ln(2^-2)) = 2 - 2^-2 = 2 - 1/4 = 7/4
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A questão diz que f e g são soluçoes da equação, por isso não há problema em assumir que f(x) = A.e^(-2x) e g(x) = B.e^x, uma vez que solução particular Yp seria uma terceira solução que se juntaria à solução da homogênea para forma a solução geral Y(x) = f(x) + g(x) + Yp.
Resolvendo com as condições dadas inicialmente encontra-se que A = B = -1
Dai então é só substituir ln(2) e resolver.