Questão 2010706

• Banca: Exército
• Órgão: IME
• Ano: 2013
• Provas: Exército - 2013 - IME - Aluno - Matemática, Química e Física
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S₁ e a soma de seus quadrados é S₂. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x² − S₁x + (S₂ - 1/2) = 0. A razão desta PA é

• A. 1/6
• B. √6/6
• C. √6
• D. √6/3
• E. 1

Gabarito: B

Comentários

• a1=a-r ; a2=a ; a3=a+r

  S1 = (a-r)+a+(a+r) =3a

  S2=(a-r)²+a²+(a+r)²=a²-2ar+r²+a²+a²+2ar+r² =3a²+2r²

  .

  .

  .

  Sabemos que P(x)=ax²+bx+c=a*(x-x')*(x-x'')

  x² − S1x + (S2 - 1/2) = (x-a)*(x-(a+r))

  x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(a+r)-ax+a*(a+r)

  x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(2a+r)+a*(a+r)

  -3a*x=-x*(2a+r) ==>3ax=2ax+r*x ==>3a-2a=r ==>a=r (i)

  .

  .

  .

  3a²+2r² - 1/2 =a*(a+r)

  3a²+2r² - 1/2 =a²+a*r

  2a²+2r² - 1/2=a*r (ii)

  .

  .

  .

  (i) em (ii)

  2r²+2r²-1/2=r² 

  3r²=1/2

  r²=1/6

  r=±√(1/6)=±√6/6 , com PA é crescente (r>0), ==>r = √6/6