Questão 2019262

• Banca: VUNESP
• Órgão: Prefeitura de São José dos Campos - SP
• Ano: 2015
• Provas: VUNESP - 2015 - Prefeitura de São José dos Campos - SP - Analista em Gestão Municipal - Ciências Ecônomicas
• Disciplina: Matemática Financeira
• Assuntos: Conceitos fundamentais de Matemática Financeira; Taxa Interna de Retorno - TIR

Um investimento de R$ 1.000 gerará retorno apenas por 2 anos, sendo R$ 550 no primeiro ano e R$ 605 no segundo ano. A taxa interna de retorno (TIR) desse projeto é de

• A. 10% a.a.
• B. 20% a.a.
• C. 30% a.a
• D. 40% a.a.
• E. 50% a.a.

Gabarito: A

Comentários

• no primeiro ano os R$ 550 equivalem aos R$ 500 + 10% e, no segundo ano, os R$ 500 restantes por 10% + 10% (nos juros compostos). Se for desenvolver a fórmula abaixo, use a solução da equação do segundo grau.

   

  1.000 = 550/(1+i) + 605/(1+i)^2
  605/(1+i)^2 + 550/(1+i) – 1.000 = 0

   

   

   

  Resposta: A

• 1000 = 550/1+i + 605/(1+i)^2
  1000*(1+i)^2 = 550(1+i) + 605
  1000*1,21 = 550*1,1 + 605
  1210 = 605 + 605
  1210 = 1210

  Chutei 10% e fiz os cálculos por que 550 é a metade de 1000 multiplicado por 10% (550).

• Precisamos, inicialmente, conceituar a Taxa Interna de Retorno (TIR) que é a taxa do projeto que zera o Valor Presente Líquido, de posse dessa informação, vamos calcular a TIR, assim 550/(1+i)^1 +605/(1+i)^2 – 1.000=0 Considerando (1+i) = x, temos 550/x + 605/x^2 -1000=0, multiplicando a expressão por x^2; 550x + 605 -1000 x^2=0 -1000 x^2+550x + 605 =0 ∆ = b^2 -4*a*c ∆ =(550)^2 -4(1.000)*(605) ∆ =302500 +2420000 ∆ = 2.722.500 x = -b±√∆/(2*a) x = -550±1650/2*(-1.000), como a taxa é positiva, descartamos o valor da raiz positivo. x =-550-1650/-2000 x = 1,1 (1+i) =1,1 i = 1,1 – 1 i = 0,1 = 10%
  
  Gabarito: Letra “A".
  
  

• O valor presente líquido deste fluxo de caixa é dado por:

   

  VPL = VPentradas – VPsaídas

  VPL = 550/(1+j)² + 605/(1+j)³ – 1000/(1+j)¹

   

  Se queremos calcular a taxa interna de retorno, devemos zerar o VPL:

   

  0 = 550/(1+j)² + 605/(1+j)³ – 1000/(1+j)¹

   

  Podemos multiplicar todos os termos por (1+j)^3 , ficando com:

   

  0 = 550.(1+j) + 605 – 1000.(1+j)²

  0 = 550 + 550j + 605 – 1000.(1 + 2j + j²)

  0 = 550 + 550j + 605 – 1000 – 2000j – 1000j²

  0 = 155 – 1450j – 1000j²

  Dividindo todos os termos por -5, temos:

   

  200j² +290j - 31 = 0

  Delta = 290² + 4.200.(-31)

  Delta = 84100 + 24800

  Delta = 108900

   

  A raiz de 108900 é 330. Assim,

   

  j = (-290 + 330)/(2.200) = 40/400 = 0,1 = 10%

   

  LETRA A

• capital= 1000

  montante= 550+650=1200

  
  

  fórmula juros simples resolve =

  
  

  1200=1000(1+i*2)

  1200=1000+2000i

  1200-1000=2000i

  200=2000i

  200/2000=i

  0,1=i

  
  

  10%aa

• Resolvi desta forma: como a taxa é a mesma para os dois períodos fiz: 605/550 = 1,1,ou seja, a taxa anual embutida era de 10% entre o final do primeiro ano e o segundo. Assim, como a taxa da data do investimento até o final do primeiro ano era igual, tb tinha que ser de 10%. Neste caso foi possível evitar uma porção de cálculos.