Prof: Vítor Menezes:
Letra A: A variável SS só pode assumir os valores 0, 1 e 2. Para perceber isso, basta pensar em todos os possíveis pares de combinação entre x e y, ou seja: (0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1).
Vamos iniciar com o cálculo de P(S=0) . Tal evento só ocorre quando x=y=0.
P(S=0)=P(X=0,Y=0)
P(S=0)=0,20×0,82−0
P(S=0)=0,64
Oras, se a chance do evento S=0 é de 64%, então a chance do evento S>0 é de 36% (eventos complementares). Logo, alternativa A incorreta.
Obs: nem precisávamos ter perdido tempo fazendo contas. Para x=y=0 é óbvio que a probabilidade seria não nula. Portanto, não faz o menor sentido dizer que P(S>0)=1 (o que, em palavras, seria o mesmo que afirmar que S sempre assumirá valores maiores que 0).
Letra B: O evento S=1 ocorrerá quando:
x=0e y=1
x=1 e y=0
Ou seja, são dois cenários possíveis.
Tratando do primeiro caso.
P(X=0,Y=1)=0,21×0,82−1
=0,16
Por simetria, no segundo caso teremos o mesmo resultado, ou seja:
P(X=1,Y=0)=0,16
Somando tudo, temos:
P(S=1)=0,16+0,16=0,32
Alternativa B incorreta.
Letra C: Seja x+y=k
Já sabemos que o evento S=0 só ocorre quando x=y=0 . Daí que:
P(S=0)=0,2k×0,82−k , para k=0
O evento S=1 , como visto na letra B, ocorre de duas maneiras. Quando x=0 e y=1 , e vice-versa, ou seja, quando x=1 e y=0 . O que resulta em:
P(S=1)=2×0,2k×0,82−k
P(S=1)=C2,1×0,2k×0,82−k , para k=1
Por fim, o evento S=2 só ocorre quando x=y=1 . O que resulta em:
P(S=2)=0,2k×0,82−k, para k=2
Ou seja, para um k qualquer entre 0 e 2, temos:
P(S=k)=C2,k×0,2k×0,8n−k
Que é exatamente a fórmula da probabilidade da binomial de parâmetros n=2 e p=0,2 . Vejam:
P(X=k)=Cn,k×pk×(1−p)n−k
P(X=k)=C2,k×0,2k×0,82−k
Alternativa C correta.
Alternativa D. Já vimos que S segue uma distribuição binomial de parâmetros n=2 e p=0,2 . Sua esperança é dada por:
E(S)=np=2×0,2=0,4
Letra D incorreta.
Alternativa E. A variância da binomial fica:
V(S)=npq=2×0,2×0,8=0,32
Letra E incorreta.