Definindo a reta t:
O exercício diz que a reta t é "mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta s: 2x - 3y +12=0 intercepta os eixos coordenados"
("reta mediatriz" significa que a reta t intercepta perpendicularmente a reta s em sua mediana)
Então é necessário determinar os extremos da reta s para achar a mediana desta
2x - 3y + 12 = 0
Os extremos são os eixos coordenados da reta s, ou seja, x = -6 y = 4
tendo isso pode-se achar o ponto médio desta reta por:
Xm = (x + x') / 2 e Ym = (y + y') / 2
Xm = (-6 + 0) / 2 e Ym = (4 + 0) / 2
Xm = -3 e Ym= 2
logo as coordenadas da mediana da reta s onde a reta t passa perpendicularmente é ( -3 , 2 )
para achar a distancia entra a reta t e o ponto M é necessário definir a reta t
Já sabemos um ponto em que ela passa (mediana da reta s) agora precisamos descobrir o coeficiente angular para utilizar a equação fundamental da reta y - y' = m ( x - x')
como a reta t é perpendicular a reta s, logo, o coeficiente angular de s vezes o coeficiente angular de t deve ser igual a -1
As . At = -1
2/3 . At = -1
At = -3/2
colocando as informações adquiridas na equação fundamental da reta temos
y - y' = m ( x - x')
y - 2 = -3/2 ( x - (-3) )
3x + 2y + 5 = 0
Já temos o ponto e a reta só falta acharmos a distância entre os dois e para isso é necessário a fórmula
Dp,r = (I ax + by + c I) / √ a^2 + b^2
Dp,r = (I 3x + 2y + 5 I) / √ 3^2 + 2^2
Dp,r = 10 / √ 13
(10 / √ 13) . (√ 13 / √ 13)
(10 √13) / 13
Alternativa: B
INTERCEPTA OS EIXOS COORDENADOS------> Zerar então o X e o Y pra descobrir o Y e o X ,respectivamente. (-6,0) e (0,4)
***daí faz o ponto médio----> (-6+0/2, 4+0/2) -----> (-3,2)
***reduz a reta s-----> y= 2x/3 + 4
***coef. ang. da outra reta é o contrario e o oposto da reta s-----> mt= -1/ms ------> mt= -3/2
***faz o yoyo me xoxo ----> y - yo = m( x- xo)----> y - 2 = -3/2(x +3) -----> y= -3x/2 - 5/2
*** deixa na forma geral ----> 3x + 2y + 5 = 0 ( reta T)
*** faz Distancia do ponto M até a reta T --------> I 3.1 + 2.1 + 5I / √ A ² + B ² ------> 10/√13 (racionaliza daí) -----> (10√13)/13